Wie viele Nullstellen hat eine ganzrationale Funktion 5. Grades?
Stimmt es, dass die nur 3 oder 5 Nullstellen haben kann?
Warum kann sie maximal fünf Nullstellen haben?
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Polynome 5. Grades haben immer mindestens eine reelle Nullstelle und können maximal 5 verschiedene reelle Nullstellen haben.
Beispiele:
Polynom mit nur einer Nullstelle:
x^5
Zwei:
(x+1)*(x+2)^4
Drei:
(x+1)(x+2)(x+3)^3
Vier:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)^2
Fünf:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
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![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maxi170703/1631529279423_nmmslarge__0_108_236_235_7ff67a8b22f8a25ca8beae07cf28d5bd.jpg?v=1631529280000)
Ein Polynom vom Grad 5 hat exakt 5 Nullstellen. Diese Nullstellen müssen keine reellen Nullstellen sein, können aber.
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Ein Polynom vom Grad 5 hat exakt 5 Nullstellen
Dass dieser Satz falsch ist, da es Polynome 5. Grades gibt mit exakt einer Nullstelle
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maxi170703/1631529279423_nmmslarge__0_108_236_235_7ff67a8b22f8a25ca8beae07cf28d5bd.jpg?v=1631529280000)
Mit der richtigen Vielfachheit gezählt, ist die Anzahl der Nullstellen insgesamt gleich dem Grad des Polynoms. Du redest von verschiedenen Nullstellen. Da muss es nicht exakt 5 geben.
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Dann musst es auch so hinschreiben dass die Summe der Vielfachheiten gleich dem Grad ist, eine Doppelte Nullstelle zählt immer noch als eine nullstelle.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/KaePie/1637437791955_nmmslarge__865_608_1047_1047_f934d88af83f121aefefce4803029049.jpg?v=1637437792000)
Sie muss mindestens eine haben, maximal 5.
Noch vergessen: https://www.onlinemathe.de/forum/Kurvendiskussion-einer-ganzrationalen-Funktion-5-Grades
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![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen. Das muss man sich halt merken. Den Beweis überlassen wir Mathematikern.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Weil du ein Polynom 5. Grades in maximal 5 Linearfaktoren zerlegen kannst. (Linearfaktoren sind Faktoren der Form (x-a) wobei a dann eine Nullstelle ist). Hättest du mehr Nullstellen, würdest somit die Funktion mit mehr Linearfaktoren schreiben können. Jedoch bekommst du, wenn du n Linearfaktoren ausmultiplizierst, ein Polynom n. Grades. Somit können es maximal 5 Linearfaktoren sein (und somit maximal 5 Nullstellen)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/annaunddielibe/1640701505140_nmmslarge__0_0_3024_3024_72847a07f2b9d9246919acdf825dae2c.jpg?v=1640701505000)
Nein, die kann 1-5 Nullstellen haben
x^5 hat genau eine Nullstelle die eine fünffache ist.