Aussage für alle Stamm-funktionen F von f gilt?
A) hätte eigentlich ja gesagt aber vielleicht ist es falsch da es für mich eher bis 1-1,5 monoton fallend ist
b) ja oder ?
c) Hä nein oder
d)Würde ja sagen
Aber wie genauso,k ich das begründen und wie genau ist es denn jetzt Aussagen für alle Stamm-funktionen F von f gilt zu machen ? Also was für ein unterscheid macht es und wie genau erkenn ich des dann ?
1 Antwort
a)
Die Stammfunktion F von f nimmt auf dem Intervall (a, b) streng monoton zu, wenn dF/dx = f auf diesem positiv ist. Sie nimmt streng monoton ab, wenn dF/dx = f auf diesem negativ ist.
b)
Die Krümmung von F wird durch die zweite Ableitung d²F/dx² = df/dx beschrieben und das Krümmungsverhalten durch das Vorzeichen von d²F/dx² = df/dx bestimmt. In dem vorliegenden Fall gilt
d²F/dx² = df/dx = a*(x - 2)
mit Konstante a > 0, da die Ableitung einer quadratischen Parabel eine Gerade ist, die im Scheitelpunkt verschwindet. Aufgrund des linearen Verlaufs ändert sich somit bei x = 2 das Vorzeichen von d²F/dx² = df/dx und damit das Krümmungsverhalten.
c)
Die Bedingungen für ein lokales Maximum an der Stelle x = 4 lauten:
(i) dF(x=4)/dx = f(x = 4) = 0 --> ist hier erfüllt (notwendige Bedingung)
(ii) d²F(x=4)/dx² = df(x=4)/dx < 0 --> ist hier nicht erfüllt (hinreichendes Kriterium)
Es liegt somit bei x = 4 kein lokales Maximum, sondern ein lokales Minimum vor.
d)
Betrachte die Differenz
F(4) - F(0) = int[0, 4]{ f(x) dx}
welche als Integral von f(x) über das Intervall [0, 4] dargestellt werden kann. Die gerichtete eingeschlossene Fläche zwischen f und der x-Achse über dem Intervall [0, 4] ist nicht 0 sondern offensichtlich negativ, so dass F(4) - F(0) < 0 gilt. Somit stimmt die Aussage F(4) = F(0) nicht!