Ableitung von ln(1+x) und ...?

Es seien zwei Funktionen

$f\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)\ und\ g\left(x\right)=\frac{1}{1+x}$ $f'\left(x\right)=\frac{1}{1+x}\ und\ g'\left(x\right)=\left(1-x\right)^{-2}$ $f''\left(x\right)=-\left(1-x\right)^{-2}$

Ich versuche irgendwie nachzuvollziehen, wieso f''(x) und g'(x) sich voneinander (bezüglich Vorzeichen) unterscheiden.

Ihre Stammfunktionen f'(x) und g(x) sind absolut identisch.

Answer 1

[mihisu]

Weil du dich wohl bei g′(x) und bei f′′(x) verrechnet hast. Ich kann nicht nachvollziehen, wie du dort zu diesen falschen Funktionstermen gekommen bist.

Richtig wäre...

$f''(x)=-\frac{1}{\left(1+x\right)^2},\quad g'(x)=-\frac{1}{\left(1+x\right)^2}$

Und dann ist offensichtlich auch...

$f''(x)=g'(x)$

====== Ergänzung ======

$\begin{array}{lcl}f(x)=\ln(x+1) & &\\ \\ f'(x)=\frac{1}{1+x}&\quad=\quad &g(x)=\frac{1}{1+x}\\ \\ f''(x)=-\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}}&\quad=\quad &g'(x)=-\frac{1}{\left(1+x\right)^2}\\ \\ f'''(x)=\frac{2}{\left(1+x\right)^{3}}&\quad=\quad &g''(x)=\frac{2}{\left(1+x\right)^3}\\ \\ f''''(x)=-\frac{6}{\left(1+x\right)^{4}}&\quad=\quad &g'''(x)=-\frac{6}{\left(1+x\right)^4}\end{array}$

Comments

[shibuyo]

Aber wenn man f"(x) und g'(x) ableitet, dann kommt was anderes raus, oder?

[mihisu]

@shibuyo

Nein, die Ableitung von f′′(x) stimmt mit der Ableitung von g′(x) überein. Warum sollte da etwas anderes rauskommen? f′′(x) und g′(x) sind doch die gleichen Funktionen. Dementsprechend sind dann auch f′′′(x) und g′′(x) die gleichen Funktionen.

[mihisu]

@mihisu

Siehe auch: Ergänzung am Ende meiner Antwort.

[mihisu]

@shibuyo

In deiner neuen Frage, die ich gerade zufällig gesehen habe, steht jetzt plötzlich g(x) = 1/(1 - x) statt g(x) = 1/(1 + x). Das macht natürlich einen Unterschied!

Auch beim Ableiten macht das dann einen Unterschied, da man den Teil 1 - x bzw. 1 + x aufgrund der Kettenregel nachdifferenzieren muss, was im einen Fall -1 als Faktor und in dem anderen Fall +1 als Faktor liefert. Dementsprechend hat man im einen Fall eine zusätzliche Änderung des Vorzeichens.

Answer 2

[Zweistein314]

Einen Fehler?

f‘‘(x)=-(1+x)^(-2). g‘(x) ist auch. Also sind sie gleich.

Answer 3

[aperfect10]

Das ergibt für mich nicht viel Sinn.

Es ist doch

$f'(x) = g(x)$ Weshalb sollten deren Ableitungen verschieden sein?

Comments

[shibuyo]

Habe meinen Fehler entdeckt, alles gut.

[shibuyo]

Sind sie nicht verschieden? Oh...

Dann habe ich wohl zu lang gelernt.

[aperfect10]

@shibuyo

Ne, die Funktionen sind identisch, deshalb auch ihre Ableitungen.
Kein Problem, sowas passiert mir auch öfters :)