f(x)= (-t+9)*e^(0,5t) Ableitung und Stammfunktion?
Hallo,
ich bräuchte die Stammfunktion und die ersten 3 Ableitungen der Funktion:
f(x)= (-t+9)*e^(0,5t)
Bei der Stammfunktion wäre es super wenn du mir auch noch sagst, wie du auf diese gekommen bist, da ich hier garnicht weiter komme.
Freue mich auf eure Antworten :)
3 Antworten
Ich mache die erste Ableitung mal vor. Für alle Ableitungen brauchst du die Produktregel (u*v)'=u'*v+u*v'.
Hier sei nun u=-t+9 und v=e^(0,5t), somit ist u'=-1 und v'=0,5*e^(0,5t) (Kettenregel)
Nun einfach einsetzen:
f'(t)=u ' *v + u* v ' =-1*e^(0,5t)+(-t+9)*0,5*(e^0,5t)
Rechts multipliziere ich zunächst die 0,5 in die Klammer rein:
=-1*e^(0,5t)+(-0,5t+4,5)*e^(0,5t)
Nun klammere ich e^(0,5t) aus, da es in beiden Summanden vorkommt:
= (-1-0,5t+4,5) * e^(0,5t)
= (-0,5t+3,5) * e^(0,5t)
So geht es jetzt auch für die nächsten beiden Ableitungen.
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Zum Integral:
Es bietet sich an, hier die Klammer auszumultiplizieren und dann einzeln zu integrieren. Also:
∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = ∫ -t*e^(0,5t) dt + ∫ 9*e^(0,5t) dt
Das zweite Integral ist einfach: Bei der Ableitung käme ja ein 0,5 als Multiplikation rein, beim Integrieren muss man es genau rückwärts machen, also einfach durch 0,5 teilen (was das selbe ist, wie mal 2 zu rechnen).
[Wenn dir das als Argumentation zu fadenscheinig ist, kann man es auch über die Integralsubstitution machen. Setzt man nämlich u=0,5t, so ist nach Leibniz-Schreibweise die Ableitung du/dt = 0,5 bzw. du/0,5 = dt bzw. 2du = dt.
Dann kann man ∫ 9*e^(0,5t) dt zu ∫ 9 e^u * 2du umschreiben, was dann ∫ 18 e^u du ist, und da die Stammfunktion der e-Funktion wieder die e-Funktion ist, hat man dann insgesamt ∫9*e^(0,5t) = 18 * e^(0,5t)]
Damit ergibt sich dann als Zwischenergebnis:
∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = - ∫ t*e^(0,5t) dt + 18 * e^(0,5t)
Jetzt muss man also nur noch ∫ t*e^(0,5t) dt herausfinden. Hier führt leider nur die partielle Integration zum Ziel. Diese besagt für Funktionen g und f:
∫ f(x) * g ' (x) dx = f(x)*g(x) - ∫ f ' (x) * g(x) dx
Das ist quasi die Umkehrung der Produktregel. Im Klartext: Wenn man eine Funktion besonders leicht integrieren und die andere besonders leicht ableiten kann, so kann man das Integral ihrer Multiplikation auch leicht errechnen.
Hier haben wir nun den Fall t * e^(0,5t), wovon wir das Integral haben wollen. Wenn wir nun f=t und g=2*e^(0,5t) [und somit g ' = e^(0,5t)] definieren, so haben wir in dem Integral, das wir ja nun berechnen wollen, nämlich ∫ t*e^(0,5t) dt, die Form ∫ f * g'. Dasd man f und g so definiert, ist Erfahrungssache. Würde man es anders herum definieren, wäre das Integral im nächsten Schritt noch schwieriger.
Das kann man jetzt alles einsetzen:
∫ t*e^(0,5t) dt = t * 2 * e^(0,5t) - ∫ 1 * 2 * e^(0,5t) dt
= 2t * e^(0,5t) - ∫ 2*e^(0,5t) dt
Das rechte Integral ist jetzt wieder sehr einfach. Auch wieder nur durch 0,5 teilen:
=2t * e^(0,5t) - 2/0,5 * e^(0,5t)
=2t * e^(0,5t) - 4 *e^(0,5t)
Und jetzt wieder den e-Term ausklammern:
=(2t-4)*e^(0,5t)
Damit haben wir nun insgesamt ∫ t*e^(0,5t) dt = (2t-4)*e^(0,5t) und können somit wieder unser Ursprungsintegral berechnen. Damit waren wir ja bis
∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = - ∫ t*e^(0,5t) dt + 18 * e^(0,5t) gekommen, und wenn wir nun ∫ t*e^(0,5t) dt = (2t-4)*e^(0,5t) da einsetzen, haben wir endlich insgesamt:
∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = -(2t-4)*e^(0,5t) + 18*e^(0,5t)
=(-2t+4)*e^(0,5t) + 18*e^(0,5t)
Jetzt klammer ich noch ein letztes mal e aus:
= (-2t+22) * e^(0,5t)
Das gute ist, dass du kein x hast
Nun sagst du ja durch f(x) das du nach x ableiten willst also bleibt die Konstante die Konstante bzw wird zu 0
Aber sonst: Produkt und Kettenregel
(-t+9)*e^(0,5t)
U = -x+9 V = e^0,5t
U'= -1 V' = 0.5e^0.5t
Alles zusammenwerfen
(-1)*e^0.5t+(-0.5x+4.5)*e...
e^0.5t*(-0.5x-3.5)
Bei den Rechnern aus dem Internet kommt was komisches raus :( Hab’s schon versucht.