Stammfunktion ln(x)/x?

Hey Leute, kann mir wer erklären, wie man die Stammfunktion von ln(x)/x löst?

Ich weiss, dass man da glaub ich die Substitutionsregel braucht, habs auch mit einem online Integralrechner durchgerechnet, aber ich versteh den Ablauf einfach nicht. Bei der Ableitung würde man da ja ganz simpel die Quotientenregel verwenden, gibt's da bei der Stammfunktion nicht auch so was?

Freundliche Grüsse

Answer 1

[Plejaden123]

Es gilt :

$\int\ \frac{\ln\ x}{x}\cdot dx$

Durch Substituierung von ln(x) = t , bzw. :

$\left|\ln\ x=t\ \ ->\ \left(\ln\ x\right)'\cdot dx=t'\cdot dt\ ->\frac{1}{x}\cdot dx=dt\ \right|$

Also folgt durch Substituieren des o.g. :

$\int\ln x\ \cdot\frac{dx}{x}=\int t\cdot dt=\frac{t^2}{2}+c$

Da t = ln(x) ist (o.g.), gilt :

$\int\ \frac{\ln x}{x}\cdot dx=\frac{\left(\ln x\right)^2}{2}+c$

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[range99gf]

Herzlichen Dank!

Answer 2

[jeanyfan]

Mit partieller Integration: $\int\frac{\ln\left(x\right)}{x}=\int\ln\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}=\left[\ln\left(x\right)\cdot\ln\left(x\right)\right]-\int\frac{1}{x}\cdot\ln\left(x\right)$

Also $\int\ln\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}=\ln\left(x\right)^2-\int\ln\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}\ \ \mid\ +\int\ln\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}$ $2\cdot\int\ln\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}=\ln\left(x\right)^2\ \ \mid\ :2$ $\int\ln\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\ln\left(x\right)^2$

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[range99gf]

Dankeschön!!

Answer 3

[ichantwortemal]

Eine Quotientenregel gibt es nicht. Du kannst z.B. den term als Produkt ln x * 1/x schreiben und partielle Integration anwenden.

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[range99gf]

Lol ne das kann doch gar nicht funktionieren? Weil bei ln(x)/x hätte ich dann einfach danach wieder das Problem, Stammfunktion von (u'*v) ist ja dann wieder ln(x)/x

[jeanyfan]

@range99gf

Doch, das funktioniert auch.

Du addierst dann einfach das Integral auf der rechten Seite auf beiden Seiten der Gleichung.

Dann hast du

2*int[ln(x)/x]=ln(x)^2

Durch 2 geteilt kriegst dann grade das Ergebnis von oben.

Ist auch so ein beliebter Trick beim Integrieren, wenn du rechts genau die gleiche Funktion wieder kriegst, die du integrieren willst.

[range99gf]

@jeanyfan

Woher kommt den das 2 vor dem int? :O

[jeanyfan]

@range99gf

Hab es dir als Antwort nochmal aufgeschrieben. Denke mal sollte so klar werden dann.

[range99gf]

Funktioniert irgendwie nicht ganz. Wenn das mache, komme ich auf x*ln(x)^2 -ln(x)