Wie kann ich die Gleichung rechnerisch Lösen?
Die Gleichung lautet e^2x=-x+2 wie kann ich die rechnerisch lösen ohne das ganze grafisch bestimmen zu müssen?
2 Antworten
Die Gleichung lautet e^2x=-x+2 wie kann ich die rechnerisch lösen ohne das ganze grafisch bestimmen zu müssen?
Numerisch könnte man das recht schnell berechnen, z.B. mit den Newtonverfahren.
Sie können die Gleichung aber auch einfach nach x umtellen (mit den Operatoren "+", "-", "*", "/", e^{}", "ln()" und "W()" und nen paar Gesetze), was jedoch ohne Übung nicht ganz so schnellgeht.
Alternativ könnte man genau für den Fall eine Umkehrfunktion definieren, doch das tut man sich nicht an.
Ich empfehle deswegen das Newtonverfahren.
Für das muss man nur eine Formel können, ableiten können und die Rechenoperationen in der Gleichung in den Taschenrechner eingeben können.
e^{2 * x} = -x + 2 | -(-x + 2)
e^{2 * x} -(-x + 2) = 0
f(x) = e^{2 * x} + x - 2 = 0
f'(x) = 2 * e^{2 * x} + 1
x_{n + 1} = x_{n} - (f(x_{n})) / (f'(x_{n}))
x_{n + 1} = x_{n} - (e^{2 * x_{n}} + x_{n} - 2) / (2 * e^{2 * x_{n}} + 1)
x_{1} := 0
x_{2} = 0 - (e^{2 * 0} + 0 - 2) / (2 * e^{2 * 0} + 1) = - (e^{0} - 2) / (2 * e^{0} + 1) = - (1 - 2) / (2 * 1 + 1) = - (-1) / (2 + 1) = - (-1) / (3) = - -(1) / (3) = (1) / (3)
x_{3} = (1) / (3) - (e^{2 * (1) / (3)} + (1) / (3) - 2) / (2 * e^{2 * (1) / (3)} + 1) = 0,2759195437479862...
x_{4} = ((1) / (3) - (e^{2 * (1) / (3)} + (1) / (3) - 2) / (2 * e^{2 * (1) / (3)} + 1)) - (e^{2 * ((1) / (3) - (e^{2 * (1) / (3)} + (1) / (3) - 2) / (2 * e^{2 * (1) / (3)} + 1))} + ((1) / (3) - (e^{2 * (1) / (3)} + (1) / (3) - 2) / (2 * e^{2 * (1) / (3)} + 1)) - 2) / (2 * e^{2 * ((1) / (3) - (e^{2 * (1) / (3)} + (1) / (3) - 2) / (2 * e^{2 * (1) / (3)} + 1))} + 1) = 0,273155535132482...
...
Ich nehmen an du meinst e^(2x) und nicht (e^2)*x
Im Endeffekt gar nicht. Du kannst die Gleichung nur mit der Lambertschen W Funktion auf x = 2 - W(2e^4)/2 bringen. Spätestens dann musst du aber den Wert den Lambertschen W Funktion entweder in einem Graphen ablesen oder numerisch ermitteln, da die Lambertsche W Funktion keine elementare Darstellung hat.
Die W Funktion selbst kommt nicht nur im Mathestudium vor, aber am Ende ist diese eben nur mit einem Taschenrechner oder Grafisch behandelbar, da ändert das Mathestudium eigentlich auch nichts, außer dass man vielleicht bestimmte Fixwerte dieser Funktion kennt die man nutzen kann.
Oder andere Tricks kennen lernt um den Wert einfach abzuschätzen.
Danke nochmal für deine Antwort, ich habe nur Mathe Lk, da werde ich die W Funktion wohl nicht mehr kennenlernen…Mit Analysis und den restlichen Funktionsthemen sind wir eigentlich fertig.
Okay danke, das würde man wohl erst im Mathestudium behandeln😅 dann muss ich das wohl grafisch machen