Wie errate ich die erste Nullstelle eines Polynoms?
Ehrlich gesagt verstehe ich nur Bahnhof.
In der Beschreibung steht 1 Schritt
: zu finden unter den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes= x-freies Glied aber dennoch muss ich nicht nur das X freies Glied ersetzen sondern alles. Was bringt mir dann das X freies Glied bei der Berechnung der Nullstellen
5 Antworten
: zu finden unter den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes= x-freies Glied aber dennoch muss ich nicht nur das X freies Glied ersetzen sondern alles. Was bringt mir dann das X freies Glied bei der Berechnung der Nullstellen
Das Ganze geht natürlich von einer Hoffnung aus, die da heißt: Mindestens eine Nullstelle "n" des Polynoms ist ganzzahlig und dann wäre:
Wenn man das nun ausmulitipliziert ist der letzte Term (das konstante Glied ohne "x" - und nur der ist für die Regel oben interessant)
Und das heißt dann im Hinblick auf deine Aufgabe
Mit anderen Worten: Die ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von 20. Daher kommen nur folgende Nullstellen (zum Testen) infrage:
Und tatsächlich hat man Glück und findet:
Also hat man eine Nullstelle erraten und kann nun mittels Polynomdivision
das "Rest-Polynom" bestimmen, und für dieses Restpolynom dann ggf. weitere Nullstellen bestimmen
Ich habe doch gesagt, dass alles auf einer Hoffnung beruht und die kann sich auch zerschlagen. Aber egal ...
Mir geht es nur darum, dass man aus
n ⋅ x1⋅ x2 =20
NICHT folgern kannst, dass n ein Teiler von 20 ist. Das passt in der Argumentation nicht. Mit Hoffnung hat das nix zu tun. :-)
Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann ist sie ein Teiler des absoluten Gliedes. Das ist richtig, weil man weiß, dass es in diesen Fällen (normiertes Polynom, ganzzahlige Koeffzienten) keine echten Brüche (also keine rationalen Zahlen, die nicht auch ganz sind) als Nullstellen gibt. Das lässt sich im Rahmen der Algebra zeigen, aber nicht durch deinen Beweis.
Mir geht es nur darum, dass man aus
n ⋅ x1⋅ x2 =20
NICHT folgern kannst, dass n ein Teiler von 20 ist. Das passt in der Argumentation nicht. Mit Hoffnung hat das nix zu tun. :-)
Doch, genau darum geht es. Eine Nullstelle zu raten (es heißt aus gutem Grund so) basiert immer auf der Hoffnung, dass wenigstens eine Nullstelle eine ganze Zahl ist.
Dann probiert man entweder von -5 bis +5 aus, oder macht es effektiver wie von evtldocha vorgeführt. So läuft das bei Schulaufgaben. Natürlich "kann" man sie auch berechnen, allerdings ist das selten praktikabel machbar für Schüler:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Ansonsten guck für Tipps zum Finden von Nullstellen mal hier vorbei:
https://studyflix.de/mathematik/nullstellen-ganzrationaler-funktionen-3-und-hoeheren-grades-4861
Du hast mich missverstanden. Ja, man rät eine Nullstelle, indem man die Teiler ausprobiert, darum geht es gar nicht. Es ist sinnvoll, die Teiler auszuprobieren, denn wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann ist sie ein Teiler des absoluten Gliedes und da man in der Schule in der Regel ganzzahlige Nullstellen findet, ist das das völlig richtige Verfahren.
Aber warum ist eine ganzzahlige Nullstelle immer ein Teiler des absoluten Gliedes? Das kann man beweisen, aber nicht so, wie das hier gemacht wird.
Ich habe überhaupt nichts gegen das Raten gesagt, ich habe überhaupt nichts gegen die Sache mit den Teilern gesagt, das ist alles völlig richtig. Nur die Aussage: Und das gilt, weil... , die ist hier falsch. Es gilt, ja, man kann es sogar zeigen, ja, aber nicht so.
Es gibt einen Satz aus der Algebra, dass die ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Parametern Teiler des absoluten Gliedes sind (zusätzlich muss dazu auch der Koeffizient vor dem höchsten Glied 1 sein). Warum das so ist, wird in der Schule normalerweise nicht erklärt und bewiesen, nimm es also einfach so hin.
Dadurch wird der "Ratebereich" schon einmal sehr eingeschränkt. Du musst also nur die Teiler das absoluten Glieds in das Polynom einsetzen, um eine ganzzahlige Nullstelle zu finden. Da man andere Nullstellen sowieso nicht raten kann, hilft das in Schulaufgaben schon mal sehr weiter.
Setze die ganzzahligen Teiler des x-freien Term in f(x) ein und wenn dann Null rauskommt hast du eine Nullstelle gefunden. Mit x= -2 in f(x) eingesetzt kommt Null raus. Also ist x= -2 eine Nullstelle.
Dann musst du eine Polynomdivision.durchführen mit dem gefundenen x und du erhälst eine quadratische Gleichung, die du dann mit pq-Formel oder abc-Formel lösen musst um eventuell weitere Nullstellen zu finden.
Probier einfach ganze Zahlen aus, die irgendwo in der Größenordnung der Koeffizienten sind.
Je mehr Antworten ich lese desto verwirrter bin ich
Du setzt z.B. 4 ein. Guckst ob es nah an der 0 ist. Und mit anderer Zahl wiederholen. Solange bis 0 rauskommt. Das ist eine Nullstelle.
Und wo fange ich am Besten an? Ich könnte auch rein rhetorisch -3 einsetzen oder -1
Wenn du eine Nullstelle erraten hast, kannst du mit (x - Nullstelle) eine Polynomdivision durchführen. Als Ergebnis der P-Div. hast du eine Funktion 2. Grades. Davon berechnest du evtl. vorhandene weitere Nullstellen (pq- oder abc-Formel).
Mit welcher Zahl fange ich beim raten an? Ich könnte ja rein hypothetisch mit -3 anfangen und so lange weiter raten bis die Zeit der Klassenarbeit um ist
Und das ist gerade der Spaß: Du musst nur die Teiler des absoluten Glieds prüfen! Andere ganzzahlige Nullstellen kann es nicht geben. Warum das so ist, ist ein bisschen komplizierter, das musst du ausnahmsweise mal nicht verstehen.
Warum soll die gannzahlige Nullstelle ein Teiler von 20 sein? Solange du nichts über die anderen Nullstellen weißt, kannst du das nicht ableiten. Wenn etwa gilt:
(1) x_1 = x_2 = 1/2
dann wäre n = 80 und damit kein Teiler von 20.
Der Witz hier ist ein anderer (und ist ein bisschen schwieriger zu zeigen): die Nullstellen eines ganzzahligen normierten Polynoms sind entweder ganzzahlig oder irrational. Daher kann der Fall (1) nicht auftreten. Ohne dieses zusätzliche Wissen kommt man daher nicht weiter