Wie kommen wir vorzeitig aus dem Mietvertrag raus?

Wir wohnen seit vier Jahren in einer 68qm² großen 3 Zimmer-Wohnung. Seit diesen vier Jahren wird uns versprochen, dass neue Fenster eingebaut würden und seit ca einem Jahr wird uns eine neue Dusche versprochen. Passiert ist bis heute nichts, außer dass vor etwa einem dreiviertel Jahr mal die Fenster und die Dusche ausgemessen wurden.
Dazu kommt, dass wir eine 18 Monate junge Tochter haben und uns der Wohnraum langsam aber sicher zu klein wird.

Nun haben wir tatsächlich eine 20qm² größere Wohnung gefunden, die wir zum 1.08.2021 beziehen können. Der Mietvertrag ist bereits unterschrieben.

Wir haben auch eine Kündigung geschrieben und dort bisher nur unseren Nachwuchs als Begründung angegeben. Nun sagt die Vermieterin aber, dass sie diese Kündigung nicht unterschreiben würde, da der Nachwuchs kein berechtigter Kündigungsgrund sei.
In unserem Kündigungsschreiben steht folgendes:

"Mit diesem Schreiben teile ich Ihnen unseren vorzeitigen Auszug ab 01.08.2021 mit und möchte den Mietvertrag vom 01.03.2017 hiermit zum 15.08.2021 kündigen.

Auf Grund unseres Nachwuchses wird der Wohnraum leider zu klein und wir haben kurzfristig eine neue Wohnung gefunden und es besteht ein berechtigtes Interesse an dieser vorzeitigen Kündigung.

Laut Mietvertrag ist es uns ebenfalls möglich vorzeitig den Vertrag zu kündigen, wenn wir einen Nachmieter nachweisen können, um den wir uns selbstverständlich kümmern werden.

Wie im Mietvertrag festgehalten, werden wir die Wohnung spätestens zum 15.08.2021 besenrein verlassen und Ihnen die Schlüssel für Wohnung und Kellerraum übergeben.

Bitte unterschreiben Sie eine Durchschrift dieser Kündigung und lassen uns diese als Kündigungsbestätigung sobald wie möglich zukommen."

Wie kommen wir vorzeitig, bis spätestens dem 15.08.2021 aus diesem Mietvertrag heraus, ohne dass es am Ende vor Gericht landet?

Wir sind für jede Hilfe, besonders von erfahrenen Vermietern dankbar!

Wohnung, Miete, Recht, Vermieter, Mieterrecht

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