Additionstheoreme?
Diese Aufgabe stammt aus dem „Joint Entrance Examination Advanced“ Exam, das jährlich in Indien durchgeführt wird, um überhaupt für einen technischen /naturwissenschaftlichen Studiengang zugelassen zu werden. Wie würdet ihr diese Aufgabe lösen?
2 Antworten
Man sieht recht schnell das gilt (Alternativ Additionstheoreme verwenden):
sin(11x/2)*(sin(6x) - cos(6x)) + cos(11x/2)*(sin(6x) + cos(6x))
= Re{ exp(-i*11x/2) * exp(i*6x) } + Im{ exp(-i*11x/2) * exp(i*6x) }
= Re{ exp(i*x/2) } + Im{ exp(i*x/2) }
= cos(x/2) + sin(x/2)
Unter der Annahme: tan(x) = - sqrt(11)/5 folgt damit
--> cos(x) = - sqrt(1/(1 + tan(x)²)) [Vorzeichen aufgrund pi/2 < x < pi]
--> cos(x) = -5/6
Gemäß Halbwinkelformeln gilt dann:
cos(x/2) = sqrt((1 + cos(x))/2) = sqrt(3)/6
sin(x/2) = sqrt((1 - cos(x))/2) = sqrt(33)/6
Damit erhalten wir als Antwort
cos(x/2) + sin(x/2) = (1 + sqrt(11))/(2*sqrt(3))
und somit ist Antwort (B) richtig.
Für Halbwinkelformeln siehe:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Halbwinkelformeln
Brauche ich hier aber nicht eher die Form e^(i*(x-y))? Aber das will bei mir auch nicht so, da ist x und y wieder vertauscht. Kannst du es mir bitte konkret an meinem Beispiel hier vormachen? Sonst will es nicht in mein Hirn, bin kurz davor, es zu verstehen
Der Fall e^(i*(x-y)) wird ebenfalls durch die beschriebene Formel beschrieben. Schreibe e^(i*(x-y)) als e^(i*(x + (-y))) und berücksichtige das cos(-a) = cos(a) und sin(-a) = - sin(a). Damit folgt dann z.B.
e^(i*(x-y)) = cos(x-y) + i*sin(x-y) = (cos(x)cos(-y) - sin(x)sin(-y)) + i*(cos(x)sin(-y) + sin(x)*cos(-y))
= (cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)) + i*(sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y))
Und für den Fall y - x kann man aufgrumd der Symmetrie einfach die Rollen von x und y tauschen. Ich werde später nochmal ein paar Links anfügen zu relevanten Videos und Webseiten mit mehr Imformationen zu dem Thema. Ein gutes Verständnis der komplexen Zahlen ist auf jeden Fall von Vorteil in vielen Bereichen der Mathematik und Physik.
Ausmultiplizieren und dann Additionstheorem für Cosinus und Sinus anwenden, ergibt (falls ich mich verrechnet habe, der Rechenweg funktioniert trotzdem wie folgt:)
cos(-x/2) - sin(-x/2) und das ist weiter gleich
cos(x/2) + sin(x/2)
Mittelste Halbwinkelformeln ergibt das
Wurzel((1+cos x)/2) + Wurzel((1-cos x)/2)
Nun verwende die Angabe cot x = -5/Wurzel(11), das ergibt
x=arccot(-5/W(11))
Und nun verwende die Formel:
cos(arccot z) = z/Wurzel(1+z^2)
Mit z = (-5/Wurzel(11))
Und setze einfach in dem Term
Wurzel((1+cos x)/2) + Wurzel((1-cos x)/2)
statt cos x
den Term
z/Wurzel(1+z^2)
mit z = (-5/Wurzel(11))
Und dann einfach alles ausrechnen, das heißt in diesem Fall: soweit wie möglich vereinfachen
Ergänzend noch der Zusammenhang zwischen den Additionstheoremen und der komplexen Exponentialfunktion:
Allgemein gilt für die komplexe Exponentialfunktion nach Euler
e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
was einen engen Zusammenhang zwischen den Trigonometrischen Funktionen und der komplexen e-Funktion aufdeckt. So gilt z.B.:
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix))/2 = Re( e^(ix) )
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i) = Im( e^(ix) )
Speziell lassen sich damit die Additionstheoreme für sin und cos trivial herleiten. Es gilt:
e^(i*(x + y)) = cos(x + y) + i*sin(x + y)
mit e^(i*(x + y)) = e^(i*x) * e^(i*y) folgt damit durch ausmultiplizieren:
e^(i*(x + y)) = (cos(x) + i*sin(x)) * (cos(y) + i*sin(y)) = (cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)) + i * (cos(x)*sin(y) + sin(x)*cos(y))
wobei i² = -1. Vergleichen von Real- und Imaginärteil der beiden Darstellungen liefert damit die Additionstheoreme:
cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
sin(x + y) = cos(x)*sin(y) + sin(x)*cos(y)
Die Verwendung komplexer Zahlen im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktion erlaubt häufig Vereinfachungen oder geschicktes Zusammenfassen von Termen ohne großen zusätzlichen Aufwand oder Kenntnis über trigonometrische Zusammenhänge. Im vorliegenden Fall habe ich e^(i*(x + y)) = e^(i*x) * e^(i*y) verwendet, da dies für mich einfacher zu "merken" ist als die Additionstheoreme und der Fall für sin und cos in einer Formel abgedeckt wird. Der Mehrwert hält sich im vorliegenden Fall in Grenzen.