Divergence und Curl?
Ich verstehe mittlerweile gut, wie man beides errechnet, aber verstehe nicht, was genau das gibt
"Eine Ableitung gibt die rate of change einer Funktion an einem bestimmten Punkt."
Kann mir jemand ähnlich wie die Erklärung zu Ableitungen Divergence und Curl erklären?
1 Antwort
Nach Gauß gilt:
int[V]{ div(F) dV} = int[O]{ F*n dA}
Für hinreichend kleines Volumen V mit Oberfläche O können wir wie folgt approximieren (denk an einen kleinen Quader oder eine kleine Kugel):
int[V]{ div(F) dV} ~ div(F)*dV
--> div(F) = int[O]{ F*n dA}/dV
Damit ist die Divergenz eines Vektorfeldes F in einem Punkt x gleich dem "aus dem Punkt x austretenden" Quellstrom pro Volumen, der durch F beschrieben wird.
Nach Stokes gilt:
int[A]{ curl(F)*n dA} = int[C]{ F dr }
Für hinreichend kleine Fläche mit Rand C können wir wie folgt approximieren:
int[A]{ curl(F)*n dA} ~ curl(F)*n*dA
--> curl(F)*n = int[C]{ F dr }/dA
Damit ist curl(F)*n ein Maß für die Rotation des durch F beschriebenen Flusses mit Rotationsachse n.
Beispiel:
Betrachte das Geschwindigkeitsfeld v = w x r mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w und Positionsvektor r. Es folgt
curl(w x r) = nabla x (w x r ) = div(r)*w - div(w)*r = 3*w
Siehe auch:
https://www.youtube.com/watch?v=qOcFJKQPZfo