Ansatz zum Beweis von stetiger Diff'barkeit?
Hallo!
Folgendes ist die Aufgabe:
wobei wir die stetige diff'barkeit zeigen sollen.
Mein Ansatz:
Ich habe mir erstmal den Fall für x in dem Intervall -1,1 angeschaut und die Ableitung "ausgerechnet" mithilfe der Kettenregel, da ja 1/C eine konstante ist.
Nun bin ich auch gerade dabei das für x nicht in dem Intervall zu zeigen, aber da komme ich nicht weiter:
Wie wäre euer Ansatz/wie würdet ihr da weiter rechnen?
Können man folgendes machen:
- Wir schauen uns die Diff'barkeit für \(x\in(-1,1)\) an.
- Wir schauen uns die Diff'barkeit für \(x=+1\) und \(x=-1\) an (können dann mit einer Fallunterscheidung von h (also ob h positiv oder negativ ist) sagen, ob der Fkt.wert dann gleich Null ist oder nicht)
- Wir können folgern, dass wenn x außerhalb des Intervalls [-1,1] liegt, dass wir dann h so klein wählen können, dass der Funktionswert f(x+h) immer gleich Null ist, da ja eben der Grenzwert betrachtet wird und daher wir das h auch klein genug wählen können.
ist insbesondere das letzte Argument korrekt?
1 Antwort
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
Ich würde es wie folgt angehen:
- Analysiere zunächst die Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf (-inf, -1), (-1, 1) und (1, inf)
- Bestimme die Ableitung der Funktion in (-1,1) und Analysiere diese hinsichtlich Stetigkeit auf (-1,1)
- Bestimme die Ableitung in (1, inf) und (-inf, -1) und Analysiere diese hinsichtlich Stetigkeit
- Zeige das der links- und rechtsseitige Grenzwert in x = 1 bzw. x = -1 übereinstimmen
Zu Punkt 4 siehe https://math.stackexchange.com/questions/1506273/rigorous-proof-of-continuity-at-a-if-and-only-if-left-and-right-limits-equal-fa
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)