Ich versuche mich mal an der mathematischen Erklärung, die KlyX84 erwähnte...
Was wir hier betrachten, sind sogenannte Permutationen. Wir haben eine Menge von 5 Personen, die wir der Einfachheit halber als M = {1,2,3,4,5} bezeichnen.
Eine Permutation ist eine bijektive Funktion f von M nach M.
Das heißt einfach, dass für jedes x aus M der Wert f(x) ebenfalls in M liegt und dass jeder Wert in M genau einmal getroffen wird.
Ein Beispiel für eine solche Permutation wäre:
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 4
f(4) = 3
f(5) = 5
Offensichtlich trifft diese Funktion jeden Wert in M genau einmal.
Eine Permutation f interpretieren wir wie folgt:
f(x) = y ist gleichbedeutend mit x schenkt y.
So, nun schauen wir uns deinen ersten Vorschlag an. Dieser lautet:
f(1) = 2
f(2) = 1
f(3) = 4
f(4) = 3
f(5) = 5
Das ist offenbar eine Permutation. Aber sie hat einen sogenannten Fixpunkt, denn die 5 wird auf sich selbst abgebildet. Das bedeutet, Person 5 beschenkt sich selber. Diese Option ist bei Permutationen nicht ausgeschlossen, denn sogar der Spezialfall f(x) = x für alle Elemente x der Menge M (jeder beschenkt sich selbst) ist eine Permutation.
Das Problem ist also, dass es Permutationen gibt, die einen Fixpunkt haben. Umgekehrt gibt es aber auch immer fixpunktfreie Permutationen, eine davon hast du ja bereits genannt. Daher kann die eine Permutation eine für uns passende Lösung sein und die andere nicht.