Woran erkenne ich identische Geraden?
Hallo,
ich schreibe bald meine Matheklausur und bin am verzweifeln. Dadurch dass ich lange krank war hab ich viel verpasst und gerade heute, ein paar Tage vor der Klausur, merke ich was mir alles fehlt.
Google hilft mir auch nicht weiter. Entweder ich gebe nicht die richtigen Begriffe ein, oder irgendwas läuft falsch:
Ich habe die Geraden h und g gleichgesetzt:
(7,1,0) + r(2,-4,6) = (8,-1,3) + s(-1,2,-3)
Ich kam nicht weiter, da ich nichtmal mithilfe der einzelnen Komponenten r und s herausfinden konnte (auch wenn man eindeutig sieht, dass s oder r -2 sein muss). Ich habe in der Lösung nachgeguckt und da stand, dass die Geraden identisch sein sollen.
Woran erkenne ich das (am 2. Vektor?)? Und wie kann man das berechnen, denn in der Arbeit brauche ich auch einen Rechenweg.
MfG
3 Antworten
Zwei Geraden sind genau dann identisch, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind und sie sich einen gemeinsamen Punkt teilen. In diesem Fall teilen sie sich dann sogar alle Punkte.
In deinem Fall sind die Richtungsvektoren linear abhängig, denn du kannst den ersten als ein Vielfaches des zweiten darstellen:
(2,-4,6) = -2 * (-1,2,-3).
D.h. die Geraden sind entweder identisch oder parallel. Nun prüfst du einfach, ob der Ortsvektor der ersten Gerade auch in der zweiten Geraden liegt:
(7,1,0) = (8,-1,3) + s * (-1,2,-3).
Offensichtlich erfüllt s = 1 diese Gleichung, also liegt der Punkt (7,1,0) sowohl auf der ersten als auch auf der zweiten Geraden. Somit teilen sie sich einen gemeinsamen Punkt und sind daher identisch.
Also auf jeden Fall verlaufen sie kollinear, weil, (-2)*(-1,2,-3) = (2,-4,6)
Und da für s=1 (8,-1,3)+(-1,2,-3) = (7,1,0) ist, sind sie sogar komplett identisch.
Mal zu deiner Vorgehensweise:
Dir ist es vielleicht nicht bewusst aber da stehen eigentlich 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten (r,s).
Lös das mal nach r,s auf.
Findest du genau ein Lösungspaar, dann schneiden sie sich.
Findest du keines, sind sie windschief (hhaben also gar keinen schnittpunkt).
findest du unendlich viele, sind sie identisch (sollte man aber direkt schon an den gleichen Formeln sehen können ohne rechnerei).
Hast du eine Schnittstellenanzahl >1, aber nicht unendlich dann hast du falsch abgeschrieben. Denn dann ist eine der beiden gleichungen garantiert keine Gerade!