Welche Oberfläche ist größer?
Hallo Leute
Ich stelle mir gerade die Frage welche Oberfläche ist größer ?!
Wenn ich z.B. EINE große Kugel habe mit dem Radius R und VIELE kleine Kugeln mit dem Radius r. Die Masse der großen Kugel entspricht der Masse der kleinen Kugeln. Die Oberflächenbeschaffenheit würde ich mal weglassen an dieser Stelle :P
5 Antworten
Sagen wir mal, Masse und Volumen sind dasselbe. Ohne Einschränkung hat unsere große Kugel den Durchmesser D = 1 (skalieren kann man am Ende ja immer noch).
Dann beträgt das Volumen der großen Kugel gerade π/6. Die Oberfläche ist π.
Nun haben wir n kleine Kugeln - jeweils mit dem Durchmesser d, sodass die Summe ihrer Volumina wieder π/6 ist:
n * (d³ * π/6) = π/6, d.h. d³ = 1/n = n^(-1)
Also: d = n^(-1/3).
Damit beträgt die Oberfläche einer einzelnen kleinen Kugel:
π * d² = π * n^(-2/3).
Somit beträgt die Summe der Oberflächen der n kleinen Kugeln:
n * π * n^(-2/3) = π * n^(1/3).
Da n größer als 1 ist, ist n^(1/3) ebenfalls größer als 1. Damit gilt aber:
π * n^(1/3) > π.
Das heißt nichts anderes, als dass ich bei vielen kleinen Kugeln mehr Oberfläche habe, als bei einer großen.
Besser: Die Funktion f(n) = π * n^(1/3) ist streng monoton steigend für positive n. D.h. je mehr Kugeln, desto größer die Oberfläche.
Ja, die Oberfläche der kleinen Kugeln ist größer. Das "ungenutzte" Volumen der großen Kugel ist ja jetzt auch Teil der Oberfläche.
Vergleichen lässt sich das ganze auch mit einem Hafen: Angenommen der Hafen hat eine Rechteckige Grundfläche, dann ist an allen vier Rändern (abzüglich der Hafeneinfahrt und der Ecken, das lasse ich aber mal außen vor) Platz, Boote ab zu stellen.
Wenn nun ein Steg mittig an jeden Rand gebaut wird, der jeweils 50m weit in das Wasser führt, dann ist an dem Steg nun auch Platz für Boote, die Größe des Hafens bleibt aber gleich.
Die Formeln Lauten: O= 4* Pi *R^2 bzw. V= 4/3* Pi *R^2
wählst Du als Radius 10cm ist die Oberfäche 1256.637 cm und das Volumen 4188.79 cm^2
Bei einer Kugel mit Radius 5cm ist die Oberfläche 314.159 cm und das Volumen 523.599 cm^2
Da das Volumen proportional zur Masse ist benötigst Du für die Masse der 10cm Kugel ca. 8 5cm Kugeln
-> 314.159* 8 = 2513.272
->Die 8 kleineren Kugeln haben ungefähr die doppelte Oberfläche (vgl. 1256.637 cm bei der großen und 2513.272 cm bei den kleinen)
Bis auf die Form der Oberfläche ist das dasselbe wie mit einem großen Würfel und vielen kleinen Würfeln.
Du kannst einen großen Würfel in viele kleine Würfel zerschneiden.
Das Volumen bleibt dabei erhalten.
Aber jeder Schnitt erzeugt neue Oberfläche.
Damit haben viele kleine Würfel mehr Oberfläche als ein einziger großer Würfel.
Bei Kugeln ist ebenso wie bei Würfeln die Oberfläche proportional zum Quadrat des Durchmessers, und das Volumen proportional zum Kubus des Durchmessers.
Deshalb verhalten sich die Kugeln hier wie die Würfel, nur mit einem anderen Proportionalitätsfaktor.
Wenn eine Kugel ein bestimmtes Volumen hat, so hat sie die geringste nur mögliche Oberfläche für dieses Volumen. Sprich: jeder andere Körper mit dem gleichen Volumen hat eine größere Oberfläche (oder ist gerade diese Kugel).
Wen die kleinen Kugeln mit Radius r also die gleiche Dichte wie die große haben ist ihre Oberfläche größer.