Zeigen Sie: abelsche Gruppe?
Aufgabe: Es sei G eine Gruppen. Zeigen Sie:
1. Gilt g^2=1 für alle g∈G, so ist G abelsch.
Kann mir da einer helfen? Mich verwirrt das g^2=1.
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
1 ist das neutrale Element der Gruppe.
Als Voraussetzung soll nun g² = 1 für alle g ∈ G sein. D.h. du betrachtest eine Gruppe, bei der jedes Element mit sich selbst verknüpft das neutrale Element ergibt.
Beispielsweise ist die durch...
... gegebene Gruppe (G, ∘) ein entsprechendes Beispiel, da 1² = 1 ∘ 1 = 1 und a² = a ∘ a = 1 und b² = b ∘ b = 1 und c² = c ∘ c = 1 ist.
Die durch...
... gegebene Gruppe (G, ∘) würde hingegen nicht die Voraussetzung erfüllen, da beispielsweise a² = a ∘ a = b ≠ 1 wäre.
Hat dir das geholfen die Voraussetzung „g² = 1 für alle g ∈ G“ besser zu verstehen?
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Du sollst nun allgemein für alle Gruppen G, die die Voraussetzung erfüllen (nicht nur für einzelne Beispiele), zeigen, dass dann G eine abelsche Gruppe ist.
D.h. du musst für diese Gruppen zeigen, dass a ∘ b = b ∘ a für alle a, b ∈ G ist.
Hinweis: Betrachte b ∘ b ∘ a ∘ b ∘ a ∘ a und vereinfache auf zwei unterschiedliche Arten.
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Ein möglicher Beweis:
Ein weiterer möglicher Beweis:
![- (Schule, Mathematik, Gruppe)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/398212251/0_big.png?v=1619613603000)
![- (Schule, Mathematik, Gruppe)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/398212251/1_big.png?v=1619613603000)
![- (Schule, Mathematik, Gruppe)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/398212251/2_big.png?v=1619613603000)
![- (Schule, Mathematik, Gruppe)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/398212251/3_big.png?v=1619613603000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RitterToby08/1584378644394_nmmslarge__43_0_196_196_060359107108e9d78f799637f51e4c9d.png?v=1584378644000)
Als Ansatz würde ich für zwei beliebige Elemente g,h in G wählen, dass gilt:
Mit ein paar Umformungen solltest du dann die Kommutativität zeigen können.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
g² = 1 (oder =e, das neutrale Element in allgemeiner Schreibweise) heisst, dass alle Elemente auch ihr eigenes Inverses sind.
Zu zeigen ist g h = h g für beliebige Elemente aus G.
Tipp: Untersuche mal das Produkt g h g h für beliebige Elemente aus G.
(Und übrigens, es muss nicht nur -1 und +1 in der Gruppe haben.)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Quotenbanane/1524418006501_nmmslarge__111_0_865_865_33f6bff8c4384e1a742b008873e6c1b8.jpg?v=1524418009000)
Weil G bereits eine Gruppe ist, musst du nur prüfen, ob sie abelsch ist, also für alle g,h in G: g*h = h*g
Weil g^2 = g*g = 1, ist g zu sich selbst ein inverses Element.
Wenn du die Hemd-Jacke-Regel (a^-1*b^-1 = (b*a)^-1) kennst, ist der Beweis sehr schnell.
Weil eben jedes Element äquivalent zu seinem inversen Element ist.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Ellejolka/1444744459_nmmslarge.jpg?v=1444744459000)
ich denke mal, dass nur -1 und +1 in der Gruppe sind; und du musst jetzt die verschiedenen Gesetze für abelsche Gruppe zeigen.