Zeigen Sie: abelsche Gruppe?

Aufgabe: Es sei G eine Gruppen. Zeigen Sie:

1. Gilt g^2=1 für alle g∈G, so ist G abelsch.

Kann mir da einer helfen? Mich verwirrt das g^2=1.

Answer 1

[mihisu]

1 ist das neutrale Element der Gruppe.

Als Voraussetzung soll nun g² = 1 für alle g ∈ G sein. D.h. du betrachtest eine Gruppe, bei der jedes Element mit sich selbst verknüpft das neutrale Element ergibt.

Beispielsweise ist die durch...

... gegebene Gruppe (G, ∘) ein entsprechendes Beispiel, da 1² = 1 ∘ 1 = 1 und a² = a ∘ a = 1 und b² = b ∘ b = 1 und c² = c ∘ c = 1 ist.

Die durch...

... gegebene Gruppe (G, ∘) würde hingegen nicht die Voraussetzung erfüllen, da beispielsweise a² = a ∘ a = b ≠ 1 wäre.

Hat dir das geholfen die Voraussetzung „g² = 1 für alle g ∈ G“ besser zu verstehen?

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Du sollst nun allgemein für alle Gruppen G, die die Voraussetzung erfüllen (nicht nur für einzelne Beispiele), zeigen, dass dann G eine abelsche Gruppe ist.

D.h. du musst für diese Gruppen zeigen, dass a ∘ b = b ∘ a für alle a, b ∈ G ist.

Hinweis: Betrachte b ∘ b ∘ a ∘ b ∘ a ∘ a und vereinfache auf zwei unterschiedliche Arten.

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Ein möglicher Beweis:

Ein weiterer möglicher Beweis:

Answer 2

[eterneladam]

g² = 1 (oder =e, das neutrale Element in allgemeiner Schreibweise) heisst, dass alle Elemente auch ihr eigenes Inverses sind.

Zu zeigen ist g h = h g für beliebige Elemente aus G.

Tipp: Untersuche mal das Produkt g h g h für beliebige Elemente aus G.

(Und übrigens, es muss nicht nur -1 und +1 in der Gruppe haben.)

Answer 3

[RitterToby08]

Als Ansatz würde ich für zwei beliebige Elemente g,h in G wählen, dass gilt:

$1=\left(gh\right)^2$ Mit ein paar Umformungen solltest du dann die Kommutativität zeigen können.

Answer 4

[Quotenbanane]

Weil G bereits eine Gruppe ist, musst du nur prüfen, ob sie abelsch ist, also für alle g,h in G: g*h = h*g

Weil g^2 = g*g = 1, ist g zu sich selbst ein inverses Element.

Wenn du die Hemd-Jacke-Regel (a^-1*b^-1 = (b*a)^-1) kennst, ist der Beweis sehr schnell.

$h\cdot g\ =\ h\cdot g\ \Rightarrow\ h\cdot g\ =\ h^{-1}g^{-1}\Rightarrow\ h\cdot g=\left(g\cdot h\right)^{-1}\Rightarrow\ h\cdot g\ =\ g\cdot h$

Weil eben jedes Element äquivalent zu seinem inversen Element ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Answer 5

[Ellejolka]

ich denke mal, dass nur -1 und +1 in der Gruppe sind; und du musst jetzt die verschiedenen Gesetze für abelsche Gruppe zeigen.