Aufgabe zur allgemeinen linearen Gruppe?
Aufgabe 1.
Sei K ein Körper.
- Zeige, dass die Teilmenge {A = (aij)ij ∈ GLn(K)|aij = 0 für i ≠j} der invertierbaren Diagonalmatrizen eine Untergruppe der GLn(K) bildet.
- Zeige, dass die Teilmenge {A = (aij)ij ∈ GLn(K)|aij = 0 für i > j} der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eine Untergruppe der GLn(K) bildet.
Könnte mir hier jemand vielleicht weiterhelfen? Am besten mit einer kurzen Erklärung wie man zu der Lösung kommt
GLn ist was?
die allgemeine lineare Gruppe
2 Antworten
Im Grunde musst du bei beiden Aufgaben folgendes nachrechnen: Bei der (ii) ist nur die zu untersuchende Menge unterschiedlich. Ich wurde mir am Anfang als Beispiel 3x3- Matrizen mit Einträgen aij wählen und mit diesen rumrechnen. Dann wirst du das allgemeine Schema erkennen.
Die (i) dürfte relativ leicht zu schaffen sein, da Diagonalmatrizen noch recht gut zu handhaben sind. Beispielsweise ist die inverse Matrix einer Diagonalmatrix einfach nur die Matrix bei der alle Diagonaleinträge invertiert wurden (warum das möglich ist, siehst du an der Determinante).
Bei der (ii) ist es ähnlich nur, dass die Eigenschaften etwas schwieriger zu überprüfen sind.
Ich werde mal ein Bild zur (i) 1. reinstellen. Dieses liefert auch indirekt einen Beweis für 3. Bei 2. musst du nichts rechnen, sondern nur erwähnen, dass die Einheitsmatrix eine Diagonalmatrix ist.
Ich habe das Beispiel mal etwas ausführlicher gerechnet, denn dann siehst du warum die Summanden 0 werden.
danke @rittertoby! kannst du mir alt die i) vorrechnen? und vielleicht das anhand eines Zahlenbeispiels zeigen?
wenn nicht dann trotzdem danke! hast mir sehr weitergeholfen !