Wie kann man diese aussage zur Poissonverteilung zeigen?

sei X - poisson verteilt mit parameter lamda

ich soll zeigen das für eine ganze Zahl k gilt : $\Pr\left(X=k\right)\le\Pr\left(X=\lambda\right)$

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Das gilt natürlich nur, wenn λ ganzzahlig ist oder man abrundet.

In der Aufgabe soll die Wahrscheinlichkeitsfunktion $\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ nach k maximiert werden. Es genügt sich den Teil ohne Exponentialfunktion anzuschauen. Die Frage ist, wie viele der Faktoren $\frac{\lambda}{1},\frac{\lambda}{2},\dots, \frac{\lambda}{\lambda}, \dots$ muss man multiplizieren, um das größte Produkt zu bekommen. Der Zähler bleibt gleich und der Nenner steigt immer um 1. Man multipliziert also solange der Nenner kleiner als der Zähler ist. Man multipliziert also λ abgerundet mal. Wenn man mehr oder weniger oft multipliziert, dann hat man ein kleiner oder gleiches Produkt. Der Modus ist also λ abgerundet. Bei ganzzahligen λ ist es egal, ob man noch mit dem Fakto λ/λ multipliziert.