Abgeschlossenheit als Axiom einer Gruppe?
Ist die Abgeschlossenheit ein Axiom einer Gruppe?
Auf Wikipedia zB sind lediglich die Assoziativität, das neutrale Element und das inverse Element als Axiome einer Gruppe aufgeführt.
Dennoch fangen viele Beweise einer Gruppe damit an die Abgeschlossenheit zu beweisen?
2 Antworten
Von
Experten
Willy1729
und
Mathmaninoff
bestätigt
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Analysis, Mathematik
Wikipedia:
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.
ein drittes Element derselben Menge!
Die Abgeschlossenveit ist eine logische Konsequenz aus den drei anderen Axiomen. Nur eine Untergruppe muss Abgeschlossen sein, die anderen Eigenschaften werden wiederum von der Geuppe "vererbt".
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Erfahrung durch Mathematikstudium
Also letztendlich folgt es schon irhendwie aus den Axiomen, da die Verknüpfung als Abbildung definiert ist und somit das Bild (also a+b=c miss im Bild sein) auch in G liegen muss.