Wurzelgleichung?

(4x-40)^1/2 - (4x-8)^1/2 + (4x+20)^1/2 = (4x-28)^1/2

Welchen Wert hat x?

Musste Frage korrigieren = es muss heissen ....+(4x+20^1/2 = .....

Answer 1

[mihisu]

Da gibt es keine reelle Lösung.

Begründung...

$\sqrt{4x-40}-\sqrt{4x-8}-\sqrt{4x+20}=\sqrt{4x-28}$

Zunächst kann man unter den Wurzeln jeweils 4 ausklammern, was dann außerhalb der Wurzel jeweils einen Faktor 2 ergibt.

$2\cdot \sqrt{x-10}-2\cdot \sqrt{x-2}-2\cdot \sqrt{x+5}=2\cdot \sqrt{x-7}$

Dann kann man durch 2 dividieren.

$\sqrt{x-10}-\sqrt{x-2}-\sqrt{x+5}=\sqrt{x-7}$

[Damit die Wurzeln definiert sind, muss x ≥ 10 sein.] Nun ist für alle x ≥ 10 jedoch...

$\underbrace{\sqrt{x-10}}_{<\sqrt{x-7}}-\underbrace{\sqrt{x-2}}_{>0}-\underbrace{\sqrt{x+5}}_{>0}<\sqrt{x-7}$

Die linke Seite ist also immer echt kleiner als die rechte Seite.

=================

Nebenbemerkung:

Eigentlich müsstest du

(4x-40)^(1/2) - (4x-8)^(1/2) - (4x+20)^(1/2) = (4x-28)^(1/2)

schreiben. Denn

(4x-40)^1/2 - (4x-8)^1/2 - (4x+20)^1/2 = (4x-28)^1/2

wäre genau genommen

$\frac{\left(4x-1\right)^1}{2}-\frac{\left(4x-8\right)^1}{2}-\frac{\left(4x+20\right)^1}{2}=\frac{\left(4x-28\right)^1}{2}$

statt

$\left(4x-1\right)^{\frac{1}{2}}-\left(4x-8\right)^{\frac{1}{2}}-\left(4x+20\right)^{\frac{1}{2}}=\left(4x-28\right)^{\frac{1}{2}}\text{.}$

====== Ergänzung nach Korrektur der Frage ======

Die Gleichung

$\sqrt{4x-40}-\sqrt{4x-8}+\sqrt{4x+20}=\sqrt{4x-28}$

hat x = 11 als einzige reelle Lösung.

Möglicher Lösungsweg:

Comments

[Hucky823]

Vielen Dank. Ein Schritt für Schritt ausgearbeiteter Lösungsweg, den man sich nur wünschen kann.

[Hucky823]

Vielen Dank für den Hinweis bezüglich ^1/2

Hätte das eigentlich wissen müssen vom "Taschenrechner" her

Bin gespannt auf den Lösungsweg

[mihisu]

@Hucky823

Ich habe nun einen möglichen Lösungsweg in meiner Antwort ergänzt.
[Siehe: Bild am Ende meiner Antwort.]

Die Idee dahinter ist, durch Sortieren von zwei Wurzeln auf eine Seite und anschließendes Quadrieren die Anzahl der Wurzeln zu reduzieren, bis nur noch eine Wurzel übrig bleibt, die man dann auf eine Seite sortiert und dann auch wieder durch quadrieren wegbekommt.

Answer 2

[LoverOfPi]

Teile durch 2 und du erhältst

√(x-10)-√(x-2)-√(x+5)=√(x-7)

√(x-10)-√(x-2)=√(x-7)+√(x+5)

(x-10)-2√((x-10)*(x-2))+(x-2)=(x-7)+2√((x-7)(x+5))+(x+5)

2x-12-2√((x-10)*(x-2))=2x-2+2√((x-7)(x+5))

-5-√((x-10)*(x-2))=√((x-7)(x+5))

Du siehst hier relativ offensichtlich, dass die linke Seite der Gleichung ständig negativ, die rechte Seite dafür ständig positiv ist. Diese Gleichung wird also nie erfüllt.

Comments

[Hucky823]

Habe das Rechenzeichen vor dem 3. Term falsch geschrieben.

Es sollte + statt - heissen

Sicher ein Grund, warum die Gleichung nie erfüllt wird.

Besten Dank für deine Bemühungen

[LoverOfPi]

@Hucky823

Ja, das stimmt. mihisu hat das ganze schön berechnet.

Answer 3

[Vi2ZE]

Die Gleichung ist falsch.

Comments

[Hucky823]

Schreibfehler, es muss heissen ...+(4x+20)^1/2 = ......

[Hucky823]

Schreibfehler, es muss heissen ....+(4x20)^1/2 = ....

[Vi2ZE]

@Hucky823

Wozu eig?