Wieso muss diese Abbildung injektiv sein?
Zwei Funktionen g: X->Y und f: Y->Z sind gegeben. Diese werden verkettet zu g°f bzw. g(f(x)). Man weiß außerdem, dass die Verkettung der Funktionen, als g°f, injektiv ist.
Daraus soll nun folgen, dass sowohl g als auch f injektiv sind.
Weshalb g injektiv sein muss, verstehe ich ja noch. Aber wieso muss f zwangsläufig injektiv sein?
Sollte es nicht ausreichen, dass g injektiv ist?
3 Antworten
Ich habe meine Antwort bearbeitet. g°f kannst du evtl nicht bilden, weil f nach Z abbildet und g den Definitionsbereich X hat. Möglicherweise gibt es Elemente in Z, die nicht in X enthalten sind, wodurch g°f keine gültige Abbildung wäre.
Möglich hingegen ist f°g, das über g von X nach Y und danach über f von Y nach Z abbildet.
In dem Fall muss die äußere Abbildung f nicht injektiv sein. Wenn zwei Elemente aus Y durch f auf demselben Element aus Z abgebildet werden, ist das solange kein Problem, solange nicht beide Werte im Bild von g liegen, weil sie sonst gar nicht erst in die Situation kommen, in f°g durch f auf Z abgebildet zu werden.
Wenn du dir das bildlich vorstellst:
Jeder Wert von X muss durch f°g auf genau einem Wert von Z abgebildet werden. Das heißt, dass die Werte, die g auf Y abbildet alle unterschiedliche Bilder durch f in Z haben müssen, aber es sagt nichts darüber aus, was mit den Werten passiert, die in Y liegen, aber die von g gar nicht getroffen werden.
g hingegen muss injektiv sein. Sobald zwei Werte durch g auf dem selben Wert in Y abgebildet werden, werden sie automatisch auch durch f auf demselben Wert in Z abgebildet, wodurch f°g nicht mehr injektiv ist.
Jetzt bin ich auch komplett verwirrt. Habe ich die Abbildungen jetzt in der falschen Reihenfolge verknüpft? In dem Fall müsste es doch f°g heißen und nicht g°f, da man sonst Y auf Z abbildet und gar nicht sicher ist, ob man verknüpfen kann, weil g von X auf Y abbildet.
Also ist g°f eine Abbildung Y -> Y mit zwei möglicherweise nicht kompatiblen Mengen in der Mitte und somit möglicherweise gar keine zulässige Abbildung.
Ich habe meine Antwort korrigiert. Jetzt müsste es passen.
Ja, die Mengen zu den zugehörigen Funktionen sind falsch, das habe ich im ersten Moment selbst nicht gesehen, ich bin gleich von g°f mit passenden Mengen ausgegangen
Injektiv: g(f(x)) = g(f(y)) ⇒ x = y
Angennomen f nicht injektiv, d.h. f(x) = f(y) für x ≠ y, dann g(f(x)) = g(f(y)). Widerspruch!
Bei g nicht injektiv, d.h. g(u) = g(v) für u ≠ v, ist nicht gesagt, dass es auch x mit f(x) = u und y mit f(y) = v gibt. Z.B g(x) = x² ist nicht injektiv, da g(x) = g(-x), aber bei f(x) = eˣ gibt es keine negativen Werte. Zu einem positiven Wert von f(x) = eˣ gibt es kein y mit f(y) = -f(x). Darum ist g(f(x)) = (eˣ)² trotzdem injektiv.
Es ist genau umgekehrt. Wenn g°f injektiv ist, dann muss f injektiv sein, g aber nicht.
Jetzt bin ich völlig verwirrt! g°f entspricht doch g(f(x)). Sagen wir nun, f sei injektiv, beispielsweise soll gelten f(x)=x. Sagen wir außerdem, g sei nicht injektiv, beispielsweise g(y)=|y|. Dann ist g(f(x)) doch nichts anderes als g(y), als nicht injektiv.
Du verwechselst da was. g°f ist als injektiv vorausgesetzt. Das ist was anderes als " Wenn f injektiv und g nicht injektiv => g°f nicht injektiv im Allgemeinen", was du gerade gezeigt hast.
Du musst annehmen, dass g°f injektiv ist und daraus folgern, dass auch g injektiv ist.
Dass f nicht injektiv sein muss, kannst du an einem einfachen Beispiel sehen.
Z.b. f: {1} -> {1,2} mit f(x) = 1 und g: {1,2} -> {1} mit g(x) = 1.
Offenbar ist g°f: {1} -> {1} mit (g°f)(1) = 1 injektiv und auch f ist injektiv. Allerdings ist g nicht injektiv.
Deswegen muss g injektiv sein. Bei f ist es egal, wenn sich zumindest die Elemente, die im Bild von g liegen durch f injektiv verhalten. Wenn zwei Elemente von Y, die nicht im Bild von g liegen durch f auf den selben Wert in Z abgebildet werden, ändert das nichts an der Injektivität von g°f.
Sorry, da hab ich mich jetzt beim Schreiben vor lauter g, f vertan. Es sollte so heißen:
Du musst annehmen, dass g°f injektiv ist und daraus folgern, dass auch f injektiv ist.
Dass g nicht injektiv sein muss, kannst du an einem einfachen Beispiel sehen.
Du verwechselst da was. g°f ist als injektiv vorausgesetzt. Das ist was anderes als " Wenn f injektiv und g nicht injektiv => g°f nicht injektiv im Allgemeinen", was du gerade gezeigt hast.
Gut, das verstehe ich ja noch.
Du musst annehmen, dass g°f injektiv ist und daraus folgern, dass auch f injektiv ist.
Wenn ich nun aber ganz allgemein aufzeigen kann, dass f nicht injektiv sein muss, damit g°f injektiv ist, dann macht es doch eigentlich überhaupt keinen Sinn mehr, in dem speziellen Fall zu folgern, dass f injektiv sein muss, weil g°f injektiv ist.
Liege ich dann damit falsch, dass es nicht notwendig ist, dass f injektiv sein muss, damit g°f injektiv ist?
In deinem Beispiel war doch g°f gar nicht injektiv. Du hast aufgezeigt, dass auch wenn f injektiv ist, g°f trotzdem nicht injektiv sein muss.
Damit sagst du nichts darüber aus, was ist, wenn g°f tatsächlich injektiv sind.
Anders als in meiner Antwort muss die erste Abbildung einer Verkettung (in dem Fall f) injektiv sein. Sobald zwei Werte durch f auf einen denselben Wert abgebildet werden, zieht sich diese fehlende Injektivität durch alle Abbildungen bis zur letzten Menge.
Bei späteren Abbildungen (wie g) heißt das noch nichts, weil die nicht injektiven Elemente von der ersten Abbildung ja gar nicht zwangsweise getroffen werden.
Der Grund warum ich in meiner Antwort die Abbildungen instinktiv falsch herum verknüpft habe ist übrigens der, weil der Wertebereich von f (nämlich Z) nicht dem Definitionsbereich von g (nämlich X) entspricht und man g°f möglicherweise gar nicht bilden kann.
f°g hingegen ist kein Problem, weswegen meine Antwort oben nur für f°g gilt.
Ich habe meine andere Antwort korrigiert. Sie müsste jetzt stimmen.
Danke, jetzt verstehe ich das alles!
Ja, die Definitionsbereiche habe ich vertauscht, mein Fehler.
Wenn ich nun aber ganz allgemein aufzeigen kann, dass f nicht injektiv sein muss, damit g°f injektiv ist
Du musst dir genau überlegen, was "g°f injektiv => f injektiv" eigentlich aussagt. Es sagt aus, dass wenn g°f injektiv ist, auch f injektiv ist.
Die Rückrichtung der Implikation wäre "f injektiv => g°f injektiv". Diese Aussage stimmt im Allgemeinen nicht! Das heißt aber nicht, dass sie nicht stimmen kann, für gewisse Funktionen tut sie es nämlich. Eine Implikation heißt aber, dass "f injektiv => g°f injektiv" für alle f und g stimmen muss.
Wenn "g°f injektiv => f injektiv" und "f injektiv => g°f injektiv" stimmen würden, dann würde "f injektiv genau dann wenn (<=>) g°f injektiv" gelten.
Ich sehe, warum es dich verwirrt. "g°f injektiv => f injektiv" fühlt sich nämlich als ein Spezielfall von "f injektiv => g°f injektiv" an. Es ist trotzdem ein Unterschied.
Liege ich dann damit falsch, dass es nicht notwendig ist, dass f injektiv sein muss, damit g°f injektiv ist?
Ja. Denn wir können zeigen, dass "g°f injektiv => f injektiv". D.h. es kann nicht sein, dass g°f injektiv und f nicht injektiv ist.
Allerdings kann es sein, dass f injektiv ist, aber g°f nicht injektiv ist. Das zerstört aber die Aussage "g°f injektiv => f injektiv" nicht. Die Aussage "f injektiv => g°f injektiv" würde das aber zerstören.
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Ich kann dir das auch mit Worten verdeutlichen.
Angenommen wir haben die Aussage: "Es ist Dienstag => Es regnet." bereits bewiesen.
Gilt die Rückrichtung "Es regnet => Es ist Dienstag"? Nein, denn es kann auch an anderen Tagen regnen, z.B. Mittwochs.
Deine Fragen an mich war jetzt sinngemäß:
"Wenn ich zeigen kann, dass es nicht nur am Dienstag regnet, dann macht es keinen Sinn mehr in dem speziellen Fall zu folgern, dass wenn Dienstag ist, es regnet."
(Beachte, wie ähnlich es klingt, aber nicht dasselbe ist. Nur weil du zeigen kannst, dass es am Mittwoch auch regnet, heißt das nicht, dass es nicht trotzdem immer Dienstags regnet)
"Liege ich damit falsch, dass es nicht notwendig ist, dass es regnet, damit es Dienstag ist."
(Wenn es Dienstag ist, regnet es. Es kann nicht sein, dass es nicht regnet und trotzdem Dienstag ist)
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Vielleicht hilft dir das Beispiel nichts (ist auch etwas kompliziert und eher philosophisch), das Fazit ist aber dasselbe: Du musst dir genau überlegen, was du annimmst und was du folgern willst. Das kann man natürlich nicht intuitiv von heute auf morgen - aber im Laufe des Studiums wird es immer leichter, das zu unterscheiden.
Vielen Dank für deine Mühe, du hast mir wirklich sehr geholfen!
Ja, mit der Implikation habe ich irgendwie noch große Schwierigkeiten. Ich habe beispielsweise gelernt, dass eine Implikation A=>B (unteranderem) dann wahr ist, wann A und B wahr sind. Wobei A und B eigenständige Aussagen sind und unabhängig voneinander überprüft werden sollen. Also Beispiele A: 3 ist eine Primzahl und B: 4 ist eine gerade Zahl. Dann wäre A=>B ja eine wahre Aussage, auch wenn die beiden Aussagen A und B überhaupt nichts miteinander zu tun haben.
Nun tauchen aber eben diese Wenn-Dann-Aussagen als Implikation auf und plötzlich kann ich nicht mehr zeigen, dass A und B wahr sind, sondern muss gleich zeigen, dass A=>B wahr ist...
Hoffen wir mal, dass es wirklich irgendwann leichter wird. Im Moment ist es alles ziemlich viel auf einen Schlag...
Jetzt ist die Verwirrung komplett. Ich denke, dass f injektiv und g nicht injektiv sein muss. Letzteres sieht man an meinem Gegenbeispiel unten.