Ich habe meine Antwort bearbeitet. g°f kannst du evtl nicht bilden, weil f nach Z abbildet und g den Definitionsbereich X hat. Möglicherweise gibt es Elemente in Z, die nicht in X enthalten sind, wodurch g°f keine gültige Abbildung wäre.

Möglich hingegen ist f°g, das über g von X nach Y und danach über f von Y nach Z abbildet.

In dem Fall muss die äußere Abbildung f nicht injektiv sein. Wenn zwei Elemente aus Y durch f auf demselben Element aus Z abgebildet werden, ist das solange kein Problem, solange nicht beide Werte im Bild von g liegen, weil sie sonst gar nicht erst in die Situation kommen, in f°g durch f auf Z abgebildet zu werden.

Wenn du dir das bildlich vorstellst:

Jeder Wert von X muss durch f°g auf genau einem Wert von Z abgebildet werden. Das heißt, dass die Werte, die g auf Y abbildet alle unterschiedliche Bilder durch f in Z haben müssen, aber es sagt nichts darüber aus, was mit den Werten passiert, die in Y liegen, aber die von g gar nicht getroffen werden.

g hingegen muss injektiv sein. Sobald zwei Werte durch g auf dem selben Wert in Y abgebildet werden, werden sie automatisch auch durch f auf demselben Wert in Z abgebildet, wodurch f°g nicht mehr injektiv ist.