Warum die positiven lösungen bei wurzelfunktion?
Also klar, eine Funktion ist so definiert, dass jeder x-wert nur einen y wert zugeordnet bekommen kann, sprich die FUnktion ist eine Injektive Abbildung. Aber die Wurzelfunktion hat doch eigentlich je 2 werte: den positiven und den negativen, also z.B. bei x=16 könnte doch f(x)=4, oder -4 sein. Wieso nun nimmt man bei der Funktion in Graphen und so nur die Positive Lösungsmenge? Wieso nicht die negative?
3 Antworten
sprich die FUnktion ist eine Injektive Abbildung
Du sprichst falsch, injektiv bedeutet was anderes.
Wieso nun nimmt man bei der Funktion in Graphen und so nur die Positive Lösungsmenge?
Weil die n. Wurzel von x als die nichtnegative Lösung y der Gleichung y^n = x definiert ist.
(Es würde keinen Sinn ergeben, die nichtpositive Lösung zu wählen, da zum Beispiel x^3 = 8 keine negative Lösung besitzt.)
Aber die Wurzelfunktion hat doch eigentlich je 2 werte
Nein. Die Wurzelfunktion hat an jeder Stelle des definitionsbereichs genau einen Wert. Sonst wäre es keine Funktion.
Du verwechselst hier die Wurzel von x mit den Lösungen der Gleichung x = y^2. Das sind zwei unterschiedliche Dinge.
dass jedes Element der Menge B, auf die die Menge A abbildet, höchstens ein Urbild hat
Ist nicht das selbe wie
jeder x-wert nur einen y wert zugeordnet bekommen kann,
Nicht jede Funktion ist injektiv, f(x)=x^2 ist es zum Beispiel nicht.
Stimmt das argument, dass es keinen Sinn ergeben würde eben ja halt meiner Aussage nach nicht. Also warum sollte es denn keinen Sinn ergeben?
Es wurde einfach so definiert, dass nur die Positive Lösung genommen wurde. Die Negative Lösung ist weniger sinnvoll weil man das nicht auf allgemeine Wurzeln erweitern kann.
Inwiefern sind das denn unterschiedliche Dinge?
Die Wurzel von x ist definiert als die Positive Lösung der Gleichung x = y^2.
Da hast du deinen unterschied.
Gibt es einen Beweis?
Definitionen brauchen keinen Beweis.
Und die Wurzelfunktion würde so definiert, dass sie an jeder Stelle exakt ein Wert besitzt.
Es gibt jedoch einen Beweis dafür, dass die Gleichung x = y^n für nichtnegative x exakt 1 nichtnegative Lösung besitzt. Damit ist es sinnvoll die n. Wurzel als die Lösung dieser Gleichung zu definieren da sie existiert und eindeutig ist.
Siehe
Ich bin es gewohnt, dass es für alles, sogar, dass das Kommutativgesetz in bestimmten Körpern gillt, einen Beweis gibt.
Da das keine Definition ist, sondern eine Aussage, muss sie natürlich bewiesen werden.
Ich denke weil Wurzeln an sich positiv definiert sind. Wenn man plus minus Zeichen macht dann müsste es auch unten weitergehen, so hab ich es zumindest gerade in der 8. Klasse gelernt und ich weiß nicht was injenktiv heißen soll aber hoffe das hilft
Naja.
In der achten Klasse mag das so sein.
Strengmathematich gesehen kann man das "±" weglassen, da sich für alle positiven reellen Zahlen folgendes ergibt:
f(x) = sqrt(x)
f(x) = sqrt(|x| * e^{arctan2(0, x) * i})
f(x) = (|x| * e^{arctan2(0, x) * i})^{1 / 2}
f(x) = |x|^{1 / 2} * (e^{arctan2(0, x)})^{1 / 2}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{arctan2(0, x) * i * 1 / 2}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{arctan2(0, x) / 2 * i}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{2kπ / 2 * i}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{kπ * i}
f(x) = sqrt(|x|) * (cos(kπ) + i * sin(kπ))
f(x) = sqrt(|x|) * (cos(kπ) + i * 0)
f(x) = sqrt(|x|) * cos(kπ)
f(x)_{k_{gerade}} = sqrt(|x|) * cos(0)
f(x)_{k_{gerade}} = sqrt(|x|) * 1
f(x)_{k_{gerade}} = sqrt(|x|)
f(x)_{k_{ungerade}} = sqrt(|x|) * cos(π)
f(x)_{k_{ungerade}} = sqrt(|x|) * -1
f(x)_{k_{ungerade}} = -sqrt(|x|)
-> f(x) = sqrt(x) = ±sqrt(x)
Halt Mathe und so...
Das lernt man in der Regel aber erst in Mathematik-Studium... Manchmal nicht Mal da.^^
Mathe macht Spaß sie man sieht. :3
Weil die Wurzelfunktion nur für das
nichtnegative Ergebnis definiert ist.
Darum schreibt man ja immer "+-"...
Naja.
Durch die komplexen Zahlen ist die Wurzel aus jeder Zahl ziehbar und auch negative Ergebnisse aus Wurzeln reeller Zahlen sind über die komplexen Zahlen erlaubt:
f(x) = sqrt(x)
f(x) = sqrt(|x| * e^{arctan2(0, x) * i})
f(x) = (|x| * e^{arctan2(0, x) * i})^{1 / 2}
f(x) = |x|^{1 / 2} * (e^{arctan2(0, x)})^{1 / 2}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{arctan2(0, x) * i * 1 / 2}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{arctan2(0, x) / 2 * i}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{2kπ / 2 * i}
f(x) = sqrt(|x|) * e^{kπ * i}
f(x) = sqrt(|x|) * (cos(kπ) + i * sin(kπ))
f(x) = sqrt(|x|) * (cos(kπ) + i * 0)
f(x) = sqrt(|x|) * cos(kπ)
f(x)_{k_{gerade}} = sqrt(|x|) * cos(0)
f(x)_{k_{gerade}} = sqrt(|x|) * 1
f(x)_{k_{gerade}} = sqrt(|x|)
f(x)_{k_{ungerade}} = sqrt(|x|) * cos(π)
f(x)_{k_{ungerade}} = sqrt(|x|) * -1
f(x)_{k_{ungerade}} = -sqrt(|x|)
-> f(x) = sqrt(x) = ±sqrt(x)
(gilt nur für reelle x)
Halt Mathe und so...
In komplexen braucht man halt kein ± für die Wurzel bei sowas... Joa...^^''
Das meinte der Fragensteller zwar wahrscheinlich nicht, aber Mathe macht Spaß. :3
Trotzdem sagt man meist, dass die Wurzel negativer zahlen nicht definiert ist, da sonst die Wurzelgesetze nicht mehr funktionieren.
Man kann wohl davon ausgehen, dass auf diesem Niveau keine
komplexen Zahlen vorkommen. Auch ohne das jedesmal zu erwähnen.
Meines Wissens nach, bedeutet Injektiv genau das, was ich meinte, also, dass jedes Element der Menge B, auf die die Menge A abbildet, höchstens ein Urbild hat. Quelle Studium MfP1
Inwiefern sind das denn unterschiedliche Dinge?
Das ist mir schon klar, das habe ich ja auch gesagt. Meine Frage ist allerdings, warum? Gibt es einen Beweis? Online und auch sonst wo steht das nur als behauptung. Ich bin es gewohnt, dass es für alles, sogar, dass das Kommutativgesetz in bestimmten Körpern gillt, einen Beweis gibt. Hier konnte ich allerdings noch nichts zu finden und auch keine Erklärung.