Urbildfunktion injektiv surjektiv?
Es sei f : A → B eine Abbildung. Zu f definieren wir die Abbildung
f^ −1 : 2^B → 2^A ,
M |→ {a ∈ A | f(a) ∈ M}
Welche Bedingung muss eine Funktion f erfüllen, damit ihre Umkehrfunktion f^-1 injektiv/ surjektiv ist?
Die Lösung:
f^-1 injektiv --> f surjektiv
f^-1 surjektiv --> f injektiv
Warum ist das so?
1 Antwort
Wenn f^-1 injektiv ist, dann gibt es für jedes y € B ein eindeutiges Urbild x € A bzgl. f, denn: Es gilt f^-1({}) = {}, wenn es nun irgendein y € 2^B gibt, sd. f^-1(y) = {}, dann wäre wegen der Injektivität schon y = {}. Wenn y € B, dann ist also {y} ≠.{}, und somit f^-1({y}) ≠ {}. Somit gibt es für jedes y € B ein x € 2^B mit x ≠ {} und f(x) = y, somit darf man (mit der Annahme dass das Auswahlaxiom gilt) ein Element a aus x wählen, und hat dann eben f(a) = y, wir können also für alle y € B ein a € A finden sd. f(a) = y, also genau die Definition von Surjektivität.
Für das zweite: Seien x,y € A sd. f(x) = b = f(y), somit f^-1({b}) ⊇ {x,y}. Dadurch, dass f^-1 surjektiv ist, gibt es jetzt Elemente c,d € 2^B, sd. f^-1(c) = {x} und f^-1(d) = {y} gilt. Es gilt auch c,d ≠ {}, weil x und y ja auf irgendwas abgebildet werden müssen. Aber da f(x) = b = f(y) gilt, muss schon b in c und d enthalten sein, damit bekommt man {x} = f^-1(c) ⊇ f^-1({b}) ⊇ {x,y}, was offensichtlich nur dann erfüllt ist, wenn x = y gilt, was also Injektivitiät impliziert