Verkettung monotoner abbildungen?
Wenn ich zwei streng monoton wachsende Funktionen f und g habe, wie beweise ich ob die + Verknüpfung f + g auch streng monoton wachsend ist am besten?
Ich hab das versucht so zu ergründen, dass wenn in einer Funktion f(x) x < y ist und f(x) < f(y) ist und das genau so bei g(x) ist, so muss das auch für die kombinierte summe gelten!
2 Antworten
nimm zwei reelle Zahlen u, v mit u < v und wende darauf die Funktionen
g ᴑ f und f+g an. Was kannst du folgern?
Gruß
Schritt 1: Was weißt du? Du weißt, dass f und g streng monoton wachsen. Was bedeutet das? Schreibe es dir ruhig auf. Für alle x,y aus R mit x<y, gilt f(x)<f(y), ebenso für g.
Schritt 2: Was willst du zeigen? Naja, du willst zeigen, dass für x,y wie oben gilt, dass f+g(x)<f+g(y)
Schritt 3: Knobeln. Hm, es hilft zu wissen, dass f+g(x)=f(x)+g(x)
Du hast eine unfassbare Sauklaue xD
Ich finde den Beweis grundsätzlich in Ordnung. Würde da noch auf die Monotonie der Addition verweisen.
Man schreibt solche Beweise im Übrigen normalerweise andersherum auf als man sie ermittelt. Das heißt den Teil mit der Summe schreibt man am Anfang, weil man das i.A. weiß, die Monotonie von f+g ans Ende.
Ist aber okay.
Ich hätte es so gemacht:
f+g(x)=f(x)+g(x)<f(y)+g(x)<f(y)+g(y)=f+g(y) (Natürlich bissl was dazu geschrieben)
Ich habe das Loben vergessen. Entschuldige bitte. Gut gemacht ;)
Macht ihr das in der Schule oder Uni?
Chef guck nochmal rein bitte