Untervektorräume von Abbildungen?
Ich habe Mengen gegeben, welche auf die Untervektoreigenschaften untersucht werden sollen:
Soweit ich weiß waren die Eigenschaften, dass der Nullvektor enthalten sein muss, die Summe zweier Elemente der Menge wieder ein Element der Menge bilden müssen und das ein vielfaches eines Elements ebenfalls wieder in der Menge liegen muss.
Zum ersten habe ich mir Gedacht: Da f injektiv ist, kann man paare bilden wie (0, 0), (1, 1) usw. Damit wären alle 3 Eigenschaften erfüllt aber ich glaube, dass ich das hier einfach falsch interpretiere.
Zu den anderen beiden Aufgaben habe ich nicht viel herausgefunden.
Was ist bei b) das x0 ? Einfach die erste Stelle der Abbildung, also (x0, x1) ?
Und bei c) soll als Bedingung gelten, dass bei f(2) = 0. Wie soll man das interpretieren.
Ich denke, dass ich die Aufgaben bestimmt lösen kann, wenn mir nur jemand erklären kann was genau alles Genannte zu bedeuten hat.
2 Antworten
Die Menge aller injektiven Abbildungen bildet offenbar keinen Vektorraum, denn die Null-Abbildung ist offensichtlich nicht injektiv (warum?).
Die Nullabbildung ist aber Element der Abbildungsmengen b) und c) (warum?). Nun mußt du untersuchen, ob auch die Untervektorraumeigenschaft erfüllt sind, also ob der jeweilige Raum unter den Vektorraumoperationen (Addition und Skalarmultiplikation) abgeschlossen ist. Die drei Vektorraumeigenschaften selbst mußt du nicht prüfen, denn die sind erfüllt weil ja der Raum der Abiildungen von R nach R bereits ein Vektorraum ist.
Nachtrag: Du mußt hier ein wenig abstrahieren. Die Elemente der jeweiligen Mengen in a) - c) sind FUNKTIONEN, also Abbildungen von R nach R, wie zum Beispiel f(x) = x^2. Und in den Aufgaben werden diese Funktionen mit bestimmten Eigenschaften versehen. Addition und Skalarmultiplikation der Funktionen werden punktweise definiert, d.h.
(f + g)(x) := f(x) + g(x) und (a*f)(x) := a*f(x)
wobei eben f und g Abbildungen von R nach R sind sowie a € R.
Darf ich fragen wofür du das benötigst? Das sind nämlich Aufgabentexte an die du dich im Studium sehr schnell gewöhnen mußt.
Was ist denn f(x0) = 0 ? Soll das heißen, dass die erste Stelle immer 0 ist ? Also bei paaren (x0, x1) dementsrpechend immer (0, x1) ?
Nein. Das bedeutet schlicht, dass jede Funktion, jedes f der Funktionenmenge schlicht mindestens eine Nullstelle hat. Es muß nicht die gleiche sein. Elemente dieser Menge sind zum Beispiel f(x) = x^2 und g(x) = cos(x). Was du nun zeigen (oder widerlegen) mußt ist dass die punktweise Addition von zwei Funktionen mit je mindestens einer Nullstelle wieder eine Funktion mit mindestens einer Nullstelle ergibt (Hinweis: Konstruiere ein Gegenbeispiel. Verwende dazu z.B. zwei nach oben geöffnete Normalparabeln, eine mit Scheitelpunkt bei -1 und eine bei 1 und zeige dass deren Summe keine Nullstelle hat).
Wenn ja, dann weiß ich immernoch nicht ganz inwiefern f(2) = 0 sein soll.
Was bedeutet das hier im Zusammenhang ? Es ist ja keine Normale Funktion gegeben, also wie wird die 2 genutzt ?
Du mußt dringend daran arbeiten, dein Verständnis für solche Beschreibungen zu schärfen. Mit der Bedingung für c) ist in Erweiterung zu b) gemeint das ALLE Funktionen mindestens EINE gemeinsame Nullstelle haben, nämlich bei x = 2. Das ist eine Teilmenge der Funktionen aus b). Mit dieser Zusatzbedingung hast du einen Untervektorraum, wie du leicht zeigen kannst.
Zum Ersten Beispiel: Schau dir mal die Injektiven Funktionen f(x)=x und g(x)=-x an. Ist die Summe beider Funktionen injektiv?
Bei b) ist gefordert, dass es eine Stelle x_0 gibt, an der die Funktionen den Wert null annimmt. Auch hier kannst Du dich recht einfach fragen: Haben alle Summen von injektiven Funktionen mit Nullstellen wiederum mindestens eine Nullstelle?
Bei c) Hier werden alle injektiven Funktionen betrachtet, die bei zwei einen Nulldurchgang haben. Hier kannst du mal versuchen zu beweisen, dass die Summer zweier solcher Funktionen bzw das Produkt einer solchen Funktion mit einer Zahl wiederum alle Eigenschaften erfüllt.
Vielen Dank für die Antwort. Wwarum genau sind alle 3 Mengen injektiv obwohl es nur bei der Ersten steht ?
Die Beschreibung zu b) ist verwirrend. Die Nullstelle kann für verschiedene Funktionen aus der Untermenge verschieden sein, wichtig ist nur dass es (mindestens) eine gibt. Was hat "injektiv" damit zu tun? Injektiv war bei a). Ebenso müssen die Funktionen in c) nicht injektiv sein.
Ok, also a) habe ich verstanden, aber b) und c) leider noch nicht ganz.
Ich weiß leider nicht ganz was genau die Bedingungen der Mengen hinter b) und c) bedeuten. Was ist denn f(x0) = 0 ? Soll das heißen, dass die erste Stelle immer 0 ist ? Also bei paaren (x0, x1) dementsrpechend immer (0, x1) ?
Wenn ja, dann weiß ich immernoch nicht ganz inwiefern f(2) = 0 sein soll.
Was bedeutet das hier im Zusammenhang ? Es ist ja keine Normale Funktion gegeben, also wie wird die 2 genutzt ?