Wieso funktioniert Multiplikation mit der Normalparabel?
In Mathe sollen wir herausfinden wieso man mit der Normalparabel multiplizieren kann und wieso das immer klappt. Wir hatten das Beispiel 2×3=6. Wenn man von Punkt 2 zu Punkt 3 eine Gerade zieht schneidet diese Gerade ja die y-Achse den Punkt 6 also das Produkt von 2 und 3 wieso funktioniert das so und auch mit anderen Zahlen?
7 Antworten
Hallo,
Du meinst, wenn man die Punkte (2|4) und (-3|9) der Normalparabel y=x² verbindet, schneidet die Verbindungslinie die y-Achse bei 2*3=6.
Allgemein: Die Verbindung zwischen (-x1|(-x1)²) und (x2|(x2²) auf dem Funktionsgraphen von f(x)=x² schneidet die y Achse beim Punkt (0|x1*x2).
Die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, hat die Steigung
[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]
Sie hat demnach die Geradengleichung g: {[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]]*x2+b=x2²
Um es übersichtlicher zu gestalten, nenne ich x1 m und x2 n:
[(n²-m²)/(n+m)]*n+b=n²
n²-m²=(n+m)*(n-m)
[(n+m)*(n-m)]/(n+m)=n-m, wenn (n+m) ungleich Null.
(n-m)*n+b=n²
n²-mn+b=n²
Daraus folgt, daß b=mn, denn n²-mn+mn=n² (wahr)
b aber ist in der allgemeinen Geradengleichung y=mx+b der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Das Produkt der beiden x-Koordinaten zweier Punkte auf der Normalparabel, die sich rechts und links von der y-Achse befinden, multipliziert mit (-1), ist somit der Schnittpunkt der Geraden, die beide Punkte verbindet, mit der y-Achse.
Herzliche Grüße,
Willy
das ist eine interessante Frage; allerdings wird die y-A
chse bei -6 von der Geraden geschnitten.
Wenn man z.B. die Punkte f(2) und f(3) miteinander verbindet, schneidet die damit gebildete Gerade die y-Achse im Punkt f(0)= -6 statt wie erwartet 2×3=6. Somit wäre der Gegenbeweis erbracht. Bei z.B. 3×(-4) würde nicht mal mehr der Betrag der Zahlenwertes stimmen.
ich habe zwar mich auch selbst am Beweis versucht und es auch hergeleitet bevor ich gegoogelt habe, aber bevor ich das alles hier abtippe, verweise ich lieber auf http://www.mikrocontroller.net/topic/164391 :)
Ja, ich weiß, die letzten Vorlesungen und Klausuren sind schon länger her - da gewöhnt man sich das eine oder andere ja leider auch wieder ab 😁
Sieht schon viel besser aus. ^^
Flüchtigkeitsfehler können dir in der Mathematik das Genick brechen, wirklich!
LG Willibergi
Wohlgemerkt bezieht sich diese Aussage auf deine Ausführung. Ansonsten habe ich t.B. genug Beweise und --tatsächliche Vorgehensweisen-- der Normalparabel-Multiplikation mit Erklärung in nicht mal 20 Sekunden bei Google gefunden - das schaffst du auch ;)
Was ist Punkt 2 und was ist Punkt 3?
Wenn du die Koordinaten angibst, kann die These bewiesen werden.
LG Willibergi
bevor du dir zu viel mühe zum tippen gibst, hier für copy-paste für eventuelle ergänzungen und erklärungen :) http://www.mikrocontroller.net/topic/164391
Wenn schon, denn schon - mit nur einem Beispiel/Punktepaar ist die These nicht bewiesen. Algebraisch beweisen kann man das in allgemeiner Form - dafür werden keine Koordinaten benötigt 😉
Wenn ich aber nicht mal weiß, was der FS meint, kann ich seine These schlecht beweisen.
Mit dem Beispiel-Punktepaar erkenne ich nun, was er meint.
Beweise müssen sogar in allgemeiner Form gebracht werden - das werde auch ich tun. ^^
LG Willibergi
Nimm 2 Punkte, die auf der Parabel liegen: U und V
U (u / u²), V (v / v²)
Die Steigung k durch die Verbindungsgerade ("Delta-y / Delta-x)
k = (u²-v²)/(u-v)
Um die Geradengleichung y = kx+d zu erhalten, einen der Punkte einsetzen:
u² = (u²-v²)/(u-v) * u + d
-> d = u² - u *(u²-v") / (u-v) = u * (u - (u²-v²) / (u-v) ) =
= u * (u² - uv - (u² - v²)) / (u-v) = u * (u² - uv - u² + v²) / (u-v) =
= u * (v²-uv) / (u-v) = u * (v * (v-u) / (u-v)) = u * (v * (-1)) = -uv
d ist also -uv
Die Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also:
y = (u²-v²)/(u-v) * x - uv
Wenn man x = 0 setzt erhält man d, den Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Also schneidet die Gerade, die durch U und V geht, die y-Achse bei -uv
was zu zeigen war.
Natürlich meinte ich (2; f(2)) und (3; f(3)), entschuldige bitte den Flüchtigkeitsfehler 😉