Wie stellt man die Aussage "Einige Säugetiere sind Menschen" anschaulich Venn-Diagramm dar? Handelt es sich um eine Schnittmenge?
Hallo, zusammen. Mir ist heute da ein kleines Problem unterlaufen, dass meinem Kopf etwas zu schaffen macht. Vielleicht verstehe ich auch nur etwas falsch. Es geht um folgendes:
Angenommen wir haben die Aussage: "Einige Säugetiere sind Menschen" vor uns. Es ist naheliegend, dass hiermit bezeichnet wird das nur ein Teil der Menge der Säugetiere eben Menschen sind, während ein anderer Teil der Säugetiere keine Menschen sind. Wie stelle ich diese Situation im Venn-Diagramm dar? Meine Intuition hatte folgenden Gedankengang:
Da ich weiß, dass "Alle Menschen sind Säugetiere" gilt, muss die Menge der Menschen vollständig innerhalb der Menge der Säugetiere enthalten sein. Trotzdem zeigt mir die Musterlösung, dass für "Einige Säugetiere sind Menschen" eine Schnittmenge gezeichnet wird.
Wie aber soll das funktionieren? Wenn es tatsächlich eine Schnittmenge wäre, dann würde ich ja behaupten, dass nur die Menschen innerhalb der Schnittmenge mit der Menge der Säugetiere eben Säugetiere sind, während die anderen Menschen keine Säugetiere sind. Demnach wäre also das Venn-Diagramm dafür falsch.
Verstehe ich hier etwas falsch? Oder ist die Musterlösung falsch?
6 Antworten
Hallo,
die Menschen sind eine echte Teilmenge der Säugetiere.
Du zeichnest also einen großen Kreis für die Säugetiere und in diesen großen Kreis einen kleinen Kreis für die Menschen.
Nach dem Hinweis von Roll und nach gleichzeitig stattgefunden habender eigener Überlegung sage ich nun: Es als Schnittmenge darzustellen ist korrekt.
Säugetiere und Menschen sind hier lediglich Bezeichnungen für nichtleere Mengen, die man auch als A und B bezeichnen könnte.
Wenn einige Elemente (mindestens 2 also) der Menge A gleichzeitig Elemente der Menge B sind, ergibt sich hieraus eine Schnittmenge. Dabei muß B nicht zwangsläufig in A enthalten sein. Die Menge, die als Menschen bezeichnet wird, muß also nicht vollständig in der Menge, die als Säugetiere bezeichnet wird, enthalten sein.
Bei solchen Logikaufgaben mußt Du Dich von althergebrachten Bildern lösen.
Säugetiere und Menschen können hier alles Mögliche sein. Es sind einfach nur willkürliche Namen, die nur zufällig mit Begriffen aus der deutschen Sprache identisch sind, aber keine weitere Bedeutung haben, außer eben dieser Schnittmenge.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hatte nicht daran gedacht, daß hier einfach nur eine Logikaufgabe vorliegt, in der Mengenbezeichnungen einfach nur irgendwelche Namen ohne weitere Bedeutung sein können, die nur der Unterscheidung der Mengen dienen und der Zuordnung von Aussagen über sie, die im Rahmen der Aufgabe gemacht werden.
Säugetiere und Menschen können hier alles Mögliche sein. Es sind einfach nur willkürliche Namen, die nur zufällig mit Begriffen aus der deutschen Sprache identisch sind, aber keine weitere Bedeutung haben, außer eben dieser Schnittmenge.
Oder auch
Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie – Wikipedia
Hilbert soll einmal gesagt haben, man könne statt „Punkte, Geraden und Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle und Bierseidel“ sagen; es komme nur darauf an, dass die Axiome erfüllt sind.
Ah, ich glaube nun zu verstehen. Der Quantor für "einige" wird hier anders gedacht als er früher gedacht wurde (z.B. von Kant), also als ein "Es gibt mindestens ein x...". Dann ergibt das natürlich Sinn. Gibt es denn einen äquivalenten Quantor für die Art, wie ich sie hier aufgeführt habe, also sodass eine solche Umkehrung auch möglich ist, also das B auch in A enthalten sein kann?
Die beiden Aussagen "Alle Menschen sind Säugetiere" und "Einige Säugetiere sind Menschen" sind verschieden und beide in gleicher Weise richtig. Die erste Aussage beinhaltet, dass die Menge der Menschen eine Teilmenge der Menge der Säugetiere ist. Die zweite Aussage beinhaltet, dass es eine Schnittmenge der Menge der Menschen und der Menge der Säugetiere gibt. Die erste Aussage kann aber nicht aus der zweiten Aussage gefolgert werden.
Ein analoges Problem ergibt sich wenn man nach der Schnittmenge der eierlegenden Tiere und der Säugetiere fragt. Das habe ich vor vielen Jahren mal in einer 5. Gymnasialklasse getan. Auch wenn man keine Erfahrung über eierlegende Säugetiere hat, darf man nicht annehmen, dass es diese nicht gibt. Das Schnabeltier ist ein eierlegendes Säugetier.
Die zweite Aussage beinhaltet, dass es eine Schnittmenge der Menge der Menschen und der Menge der Säugetiere gibt.
Genau da beißt sich bei mir der Fuchs in den Schwanz. Denn eine Menge der Menschen beinhaltet ja alle Menschen, richtig? Also eine Menge fasst ja einzelne Objekte mit gleichen Eigenschaften zusammen. So verstehe ich das.
Wenn ich also schreibe: Dann habe ich hier bis m_n Menschen vor mir. Wenn es also tatsächlich nur eine Schnittmenge ist, dann muss ja notwendigerweise nur ein Teil von M in der Menge der Säugetiere enthalten sein (nämlich in der Schnittmenge), und die anderen m_n würden dabei wegfallen. Also müsste doch auch die Aussage "Einige Säugetiere sind Menschen" dasselbe Venn-Diagramm erzeugen, nämlich das die Menge der Menschen vollständig in der Menge der Säugetiere enthalten ist
Die Aussage, dass einige Säugetiere Menschen sind bedeutet weder, dass alle Säugetiere Menschen sind noch dass alle Menschen Säugetiere sind.
Eben nicht. 'Menschen' ist hier einfach nur die Bezeichnung für eine Menge und hat mit wirklichen Menschen nicht das Geringste zu tun. Ebenfalls ist 'Säugetiere' hier einfach nur ein Name.
Das einzige, was wir wissen, ist die Tatsache, daß einige Elemente der Menge 'Säugetiere' auch Elemente der Menge 'Menschen' sind. Davon, daß 'Menschen' 'Säugetiere' sind, steht in der Aufgabe nichts.
Großer Kreis für Säugetiere, darin ein kleiner Kreis für Menschen. Und zur Verdeutlichung vielleicht noch andere Kreise, für Mäuse, Elefanten, Paarhufer (mit weiteren Unterkreisen...) usw.
Das Problem ist die Fragestellung selber es sind nicht einige viele Säugetiere Menschen es ist nur ein bestimmtes Säugetier ein Mensch, nämlich diese ganz bestimmte Affenkategorie die wir offiziell wären.
Wir sind also nur eine Säugetiergattung von sehr vielen
Das Problem ist die Fragestellung selber
Nein, mathematisch ist die Fragestellung völlig korrekt und die Aufgabe soll genau auf die Problematik
Commutation of Conditionals (logicallyfallacious.com)
und auf das fälschliche Hinzuziehen von nicht gegebenen Voraussetzungen hin weisen.
In der Aussage "einige Säugetiere sind Menschen" steckt lediglich, das die Menge der Säugetiere und die Menge der Menschen einen nicht leeren Schnitt hat. Die von dir getroffene Aussage "Alle Menschen sind Säugetiere" ist zwar richtig, aber sie kommt in der Prämisse nicht vor und darf daher keine Berücksichtigung finden. Die Darstellung als Schnittmenge wie in der Musterlösung ist daher korrekt.
Interessant. Ich orientiere mich hier aktuell an Kants Logik. Bei den sog. Urteilsformen, konkret der sog. "negativen Urteile" zeichnet Kant das Bild, dass das Urteil "Einige Säugetiere sind Menschen" nur deshalb gedacht werden kann, da die Negativkopula ("sind nicht") schon mitgedacht wird im beispielhaften Urteil: "Alle Tiger sind nicht Menschen" usw. Das heißt, sobald das Urteil oben aufgestellt wird, denkt man schon zugleich die Negation der anderen Urteile mit.
Daraus konstruiert dann Kant, dass Subjekt und Prädikat sich umstellen lassen (also um die Kopula logisch drehen lassen), und dabei sinngemäß dasselbe aussagen:
"Alle Menschen sind Säugetiere" woraus gleichzeitig folgt, dass "Einige Säugetiere sind Menschen". Daher ging ich davon aus, dass das Venn-Diagramm genauso aussehen müsste wie bei "Alle Menschen sind Säugetiere".
Tja, Kant war aber Philosoph, kein Mengentheoretiker. Tatsächlich hast du Recht, die Aussage "Einige Säugetiere sind Menschen" folgt aus der Aussage "Alle Menschen sind Säugetiere". Die Umkehrung ist aber NICHT korrekt, und die wendest du implizit mit deinem biologischen Wissen an. Das ist aber logisch nicht erlaubt.
Ich glaube meinen Fehler gefunden zu haben. Kants Logik benutzt das Wörtchen "Einige" nicht im Sinne der modernen Logik, also des Existenzquantors. Im Falle des Existenzquantors, wie die moderne Logik ihn versteht, stimme ich da natürlich zu. Hier wird ja nur die Existenz mindestens eines Individuums mit Eigenschaft P(x) behauptet. Wie viele weitere dann diese teilen, darüber wird dann nichts mehr ausgesagt und nicht weiter diskutiert.
Kants allgemeine Logik (oder auch "Port-Royal Logik" genannt) scheint mir tatsächlich wesentlich intuitiver im Zusammenhang mit dem Wort "Einige".
Kants allgemeine Logik (oder auch "Port-Royal Logik" genannt) scheint mir tatsächlich wesentlich intuitiver im Zusammenhang mit dem Wort "Einige".
Sie ist aber nun mal keine formalisierbare Logik, und damit liefert sie jederzeit Angriffspunkte.
Nebenbei bedeutet "Einige" auch bei Kant lediglich "Es gibt welche, aber nicht notwendigerweise alle". "Aus "Einige Säugetiere sind Menschen" die Folgerung zu ziehen "Alle Menschen sind Säugetiere" ist in jedem Fall falsch, auch kannst du aus "Einige Menschen sind Säugetiere" nicht folgern "Alle Menschen sind Säugetiere".
Du hast recht. Da habe ich mich vertan. Hoffentlich verstehe ich das hier jetzt richtig. Kant schreibt hier:
https://www.textlog.de/kant-logik-quantitaet.html
" Von den besondern Urteilen ist zu merken, daß, wenn sie durch die Vernunft sollen können eingesehen werden und also eine rationale, nicht bloß intellektuale (abstrahierte) Form haben: so muß das Subjekt ein weiterer Begriff (c. latior 1)) als das Prädikat sein. — Es sei das Prädikat jederzeit = Ο das Subjekt □, so ist
(Bild 1)
ein besonderes Urteil; denn einiges unter a Gehörige ist b, einiges nicht b — das folgt aus der Vernunft. — Aber es sei
(Bild 2)
so kann zum wenigsten alles a unter b enthalten sein, wenn es kleiner ist, aber nicht, wenn es größer ist; also ist es nur zufälliger Weise partikular.
"
Das steht aber nicht in der Voraussetzung für die Aufgabe!