Wie löst man Gleichungen mit Brüchen?
Ich weiß nicht wie man vorgeht, wenn man Gleichungen mit Brüchen hat und wie man diese dann löst.(Als Bild habe ich Beispielaufgaben angehängt). Darf man die Brüche in Dezimal umwandeln und dann wie gewohnt die Gleichung lösen. Oder gibt es da eine andere Vorgehensweise? Könnt ihr mir da weiterhelfen?
5 Antworten
Man kann Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, wenn auch manchmal nur angenähert (aber in beliebiger Genauigkeit). Da ihr aber die Bruchrechnung aus guten Gründen lernen sollt, kann in Arbeiten vorgeschrieben werden, ob ihr umwandeln dürft oder nicht.
Eine Faustregel ist:
wenn in der Aufgabe Brüche gegeben sind, werden auch im Ergebnis Brüche gefordert.
Deine Erweiterungen sind ja im Kopf zu erledigen, nur mit 2 und 4.
Sollen Schnittstellen zweier Funktionen bestimmt werden? Nur dann lohnt sich die Erweiterung. Beim Errechnen von Funktionswerten wäre sie schon fast wieder störend.
Deine erste Aufgabe in Brüche umgeschrieben:
x⁴/4 + x²/2 - 1/4 = x⁴/4 - x² + 1 | * 4 (dann sind die Brüche weg)
x⁴ + 2x² - 1 = x⁴ - 4x² + 4 | x⁴ hebt sich, Quadrate links, Zahlen rechts
6x² = 5
x² = 5/6
x = ±√(5/6)
Die y-Werte (bei Schnittpunkten nötig) gewinnt man durch Einsetzen in eine der Funktionen. Man kann die einfachere nehmen.
Darf man, aber welchen Sinn sollte das machen?
Mit 1/2 oder 1/4 oder... lässt sich doch viel besser rechnen, als mit 0,5 oder 0,25...
Mit den Brüchen geht's meistens besser, weil sich beim Rechnen oft was wegkürzt, während Dezimalzahlen leicht unübersichtlich werden.
Bsp:
Wenn 1/3 • 1/7 gerechnet werden muss, ist es doch viel einfacher gleich 1/21 hinzuschreiben, als 0,333333333333333 • 0,142857142857143 zu rechnen ;-)
Oder: √(1/9) da ist sofort klar, dass das 1/3 ergibt.
Aber √0,111111111111111 ist nicht so offensichtlich ;-)
1 entspricht einfach
0,25*x⁴+0,5*x²-0,25 = 0,5*x⁴-x²+1
Also einfach die Brüche ausrechnen
- 1/4 = 0,25
- 1/2 = 0,5
Die Brüche durch die Kommazahlen ersetzen und ganz normal rechnen.
Wenn du die Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner aller Brüche multiplizierst, "verschwinden" die Brüche; exakter formuliert: du kannst sie danach kürzen.
Du kannst auch einfach so ganz normal weiter rechnen .. verstehe die Frage nicht ^^