Wie lange soll ich l‘Hospital anwenden? Denn bei manchen, 3 mal und bei manchen nur 1 mal?
a) Hier wurde es nur einmal angewendet
b) Hier zweimal
c) Hier 3
Danke!
3 Antworten
Hallo,
bei a brauchst Du de l'Hospital nicht.
Wenn Du bei a im Zähler 6x^4 ausklammerst und im Nenner die 2, bekommst Du
[6x^4*(x^2-2)]/[2*(x^4-4)]
x^4-4 ergibt nach der dritten binomischen Formel (x^2-2)*(x^2+2).
x^2-2 kannst Du nun kürzen.
Es bleibt 6x^4/[2*(x^2+2)].
Nun kannst Du problemlos Wurzel (2) für x einsetzen und bekommst als Grenzwert
24/8=3.
Bei Aufgabe b benutzt Du die Tatsache, daß sin(x) bei sehr kleinen x gleich x ist und rechnest einfach x²/x². Nach zweimaliger Anwedeung von l'Hospital bekommst Du dann 2/2=1 als Grenzwert. Du kannst natürlich auch sofort x²/x² zu 1 kürzen. Nun ist x=0 kein Problem mehr; der Grenzwert ist 1.
Bei c mußt Du de l'Hsopital mehrmals anwenden, wenn Du ncht sofort siehst, daß unten e^(2x) steht und oben nur e^x als höchste Potenz.
e^(2x) gewinnt aber immer gegen x^2 und e^x, so daß sich der Grenzwert 0 ergibt für x gegen unendlich.
Herzliche Grüße,
Willy
Du musst es so oft machen, bis du einen Ausdruck ehälst, wo der zähler und Nenner nicht gleichzeitig 0, bzw gleichzeitig unendlich werden.
Solange es zielführend ist, also der Grenzwert eindeutig berechnet werden kann oder die Voraussetzungen nicht mehr erfüllt werden, denn wie ja bekannt ist, existiert der linke Grenzwert nur dann, wenn der rechte existiert.
Häufig kommt man aber mit Taylor effizienter ans Ziel und lernt mehr über das Verhalten der Funktionen.