Injektiv, surjektiv und bijektiv?
Hey Leute,
Ich könnte diese Aufgabe nicht lösen, aber ich kann nur meinen Ansatz schreiben
Es gibt nichtleere Mengen A, B,C, sowie Abbildungen f: A-> B und g: B ->C, so dass g o f injektiv ist, aber g nicht injektiv.
Ansatz:
A={a}, B={b}, C={c}
f(a)=b
g(b)=c
(f○g)(a)=c ==> a=c, aber g(b)=c
1 Antwort
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Dein Ansatz ist leider falsch.
(f○g)(a)=c ==> a=c
Nein, warum sollte das folgen? Das stimmt nicht.
Erst einmal existiert f ∘ g hier gar nicht, sodass dann natürlich auch (f ∘ g)(a) nicht existiert. Und selbst wenn, würde aus (f ∘ g)(a) = c noch lange nicht a = c folgen.
aber g(b)=c
Inwiefern ein „aber“? Soll das deiner Ansicht nach ein Widerspruch zu dem davor sein? Nein. Warum?
A={a}, B={b}, C={c}
f(a)=b
g(b)=c
Die so definierten Funktionen f und g sind offensichtlich beide umkehrbar/bijektiv [mit f⁻¹(b) = a und g⁻¹(c) = b], also insbesondere injektiv. Da g also injektiv ist, ist das sicher kein Beispiel bei dem „aber g nicht injektiv“ ist.
====== Mögliches richtiges Beispiel ======
Dann ist...
Die Funktion g ∘ f ist offensichtlich injektiv, da die Definitionsmenge nur ein Element enthält. [Wenn (g ∘ f)(a) = (g ∘ f)(b) ist, ist sicherlich a = b, da wegen der einelementigen Definitionsmenge A = {1} nur a = 1 und b = 1 und damit a = 1 = b in Frage kommt.]
Die Funktion g ist offensichtlich nicht injektiv, da g(2) = g(3) [wegen g(2) = 4 = g(3)] ist, obwohl 2 ≠ 3 ist.
====== Ergänzung zu Kommentar ======
![- (rechnen, Mathematiker, Analysis)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/544048281/0_big.png?v=1714758791000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Die Idee hinter dem Beispiel ist übrigens, dass f hier nicht surjektiv ist, also nicht die gesamte Menge B als Bildmenge hat. Dann sorgt man dafür, dass g zwar eingeschränkt auf der Bildmenge von f injektiv ist, aber insgesamt auf B nicht injektiv ist; indem g die von f nicht getroffenen Werte auf Werte abbildet, die g auch anderweitig schon trifft.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Francisco1234/1699440120076_nmmslarge__0_0_1015_1016_d64c3b5bf8357164f12f054f4c9e5f6d.jpg?v=1699440120000)
1: A --> B --> C
2: A --> B --> C
3: A --> B / C
Ich hab das so verstanden. Haben Sie das so gemeint?!
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Nein. So habe ich das nicht gemeint.
Ich kann aber auch gar nicht nachvollziehen, was du damit überhaupt meinst.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Francisco1234/1699440120076_nmmslarge__0_0_1015_1016_d64c3b5bf8357164f12f054f4c9e5f6d.jpg?v=1699440120000)
a1 trifft b1 trifft c1
a2 trifft b2 trifft c2
a3 trifft b3 trifft c2
Dass die Werte dir vorher getroffen wurden auch wiederum getroffen werden.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
OK. Du meinst das wohl so wie im Bild, welches ich nun am Ende von meinem Kommentar eingefügt habe, oder?
Dann ist das kein passendes Beispiel. Denn da ist (g ∘ f)(a₂) = (g ∘ f)(a₃) [denn (g ∘ f)(a₂) = c₂ = (g ∘ f)(a₃)]. Aber es ist a₂ ≠ a₃. Dementsprechend ist g ∘ f nicht injektiv.
Du könntest daraus aber ein passendes Beispiel machen, indem du einfach a₃ aus der Menge A rausnimmst.
Ja, Sie haben recht. Ich habe es getaucht aus Versehen, aber ich meinte anderes herum. Das hat mir aber wirklich sehr geholfen. Danke!