Widerspruchbeweis Frage?
Ich habe eine Aussage der Form A => B und soll das mit Widerspruch beweisen.
Also nehme ich an B gelte nicht und dann merke ich durch Folgerung das A verletzt ist. Aber ich verstehe nicht warum ich dann die Aussage beweisen habe.
Es ging hier um:
n,m ungerade => n+m gerade
4 Antworten
Es gibt nur eine Möglichkeit, wie A => B falsch sein kann, nämlich wenn A wahr und B falsch ist [sieht man leicht in der Wahrheitstabelle der Implikation].
Wenn du also zeigen kannst, dass dieser Fall unmöglich ist, hast du die Implikation bewiesen.
Aber zu zeigen, dass (A ist wahr und B ist falsch) nicht sein kann, ist gerade der Widerspruchbeweis.
A => B ist bewiesen, wenn ich zeigen kann das A => -B gerade falsch ist
Nein, A => B ist bewiesen, wenn du zeigen kannst, dass (A und -B) falsch ist.
Deswegen gehst du ja davon aus, dass A und -B beide gelten und führst diese Annahme ad absurdum.
Jetzt habe ich es glaub verstanden. Eine doofe Frage habe ich noch :D
A => B äquivalent zu nicht(A und -B), also muss A und -B falsch sein, damit A => B stimmt, wie ich das jetzt mache, das zu zeigen bleibt ja mir überlassen oder?
Meine Annahmen sind jetzt A stimmt und -B stimmt, dann kann ich folgern wie ich will, z. B. ich folgere aus A irgendwas und merke dann B stimmt oder ich folgere aus -B irgendwas und merke dann -A stimmt?
Zum Beispiel, ja. Solange du aus der Annahme (A und -B) irgendeinen Widerspruch folgern kannst, hast du die Aussage A => B bewiesen. Das kann direkt ein Widerspruch zu den Annahmen sein (z.B. -A, im Widerspruch zu A), das kann auch irgendein komplett anderer Widerspruch sein (z.B. 0 = 1, im Widerspruch zu den Axiomen der reellen Zahlen).
Super, danke für alles, der Stern kommt sobald ich ihn vergeben kann :)
Das liegt daran, dass:
Das bedeutet, wenn du aus nicht B nicht A folgern kannst, hast du bewiesesn, dass A folgt B.
Vielleicht hilft dir das weiter.
Hallo,
wenn n und m natürliche Zahlen sind, ist auch ihre Summe eine natürliche Zahl.
Alle natürlichen Zahlen aber sind entweder gerade oder ungerade.
Wenn also die Aussage aus n und m ungerade folgt m+n ungerade zu einem Widerspruch führt, kann m+n nur noch gerade sein, da die Möglichkeit eines ungeraden Ergebnisses ja durch Widerspruch ausgeschaltet wurde.
Herzliche Grüße,
Willy
Also ich nehme erst einmal an das m+n ungerade sei.
Dann sage ich neben dem gilt auch die Voraussetzung A.
A => nicht B
n, m ungerade => ... => n+m ungerade (Widerspruch)
Soweit richtig?
Also bleibt meine Voraussetzung genau so erhalten, aber ich zeige dann halt A => B nicht sei falsch und dann, klar, gilt A => B, richtig?
Deine Argumentation enthält einen Fehler.
Du sollst nicht nur annehmen, dass das die Negation von B gilt sondern zugleich dass A gilt. Erst dadurch entsteht dann der Widerspruch.
Weil es offensichtlich so schwer zu verstehen zu sein scheint, schreib ich es etwas ausführlicher:
Behauptung: Wenn A wahr ist dann folgt daraus B. Kurz: A => B .
___Annahme: A ist wahr => B ist nicht wahr
___Begründung der Behauptung: B ist nicht wahr => A ist nicht wahr.
Insgesamt hätte man so bewiesen dass A => (nicht B) => (nicht A). Dies würde einen Selbstwiderspruch darstellen, der von der Logik durch das Axiom vom "ausgeschlossenen Dritten" ausgeschlossen wird.
D.h.: Aus (A ist wahr) folgt immer entweder (B ist wahr) oder (B ist nicht wahr).
Also ich soll zeigen A => nicht B? Wenn das dann zum Widerspruch führt, gilt A => B?
Okay, ich glaube ich habe es verstanden.
A => B ist bewiesen, wenn ich zeigen kann das A => -B gerade falsch ist, denn dann ist die Implikation falsch. Sie ist wieder richtig, wie du schon erwähnt hast, wenn ich Die Negation von -B einsetze.