Wahrscheinlichkeiten und Beweise?
Hey,
die Aufgabe lautet: Zeige, dass Pr(A ∪ B | C) = Pr(A | C) + Pr(B | C) - Pr(A ∩ B | C)
Mein Ansatz:
Ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist.
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Der Ansatz ist erschein mir gut, obwohl du natürlich noch bedenken musst, dass
(A u B) n C = (A n C) u (B n C)
und daher
P((A u B) n C) = P((A n C) u (B n C))
= P(A n C) + P(B n C) - P(A n C n B n C)
= P(A n C) + P(B n C) - P(A n B n C).
Wenn du das noch ordentlich aufschreibst wie ein Beweis, dann passt das.
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Diese Aussage ist die sogenannte "Erweiterte Formel von Bayes" und ist eine Erweiterung der Grundformel von Bayes. Sie besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A oder B gegeben ein Ereignis C gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B gegeben C minus der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Ereignisses A und B gegeben C ist.
Mathematisch ausgedrückt lautet die Formel:
Pr(A ∪ B | C) = Pr(A | C) + Pr(B | C) - Pr(A ∩ B | C)
Dies kann auf verschiedene Weise bewiesen werden, eine Möglichkeit ist die Verwendung der Formel von Totalprobabilität.
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