Wie kommt man auf diesen Normalenvektoren ?
Wie kommt man von den Vektoren A (1,2,0) B(2,5 , 4,0) C (1,6,0) S (1, 4,48, 1,87) auf den normalenvektor n (3,4,0)? Warum wurde 2*A (1,2,0) genommen?
3 Antworten
Das, was du "Vektor" nennst, sind keine Vektoren, sondern Punkte.
Es dürfte sich um eine 3-seitige Pyramide handeln, bei der A,B,C die Ecken der Grundfläche sind und S die Spitze.
Du bildest die Vektoren AB und AC und stellst mit diesen die Parameterform der Ebenengleichung her.
Dann bildest du den Normalvektor mit Hilfe des vektoriellen Produktes: AB×AC
Aus deinem Bild kannst du entnehmen, dass der Normalvektor (0,0,1) ist!
2·AB wurde genommen, weil es leichter zu rechnen ist (keine Kommazahl), aber man kann auch AB nehmen.
Hallo,
(3/4/0) kann unmöglich ein Normalenvektor der Ebene sein, in der die Punkte A, B und C liegen. Das sieht man sofort ohne überhaupt zu rechnen.
Die z-Koordinate aller Punkte ist 0. Das bedeutet, daß alle Punkte in der
xy-Ebene liegen.
Der Vektor (3/4/0) hat ebenfalls keine Ausdehnung in z-Richtung, liegt also auch in der xy-Ebene. Folglich kann er nicht senkrecht zu ihr sein.
Normalenvektor dieser Ebene ist jeder Vektor, der parallel zur z-Achse ist, also der Vektor (0/0/1) oder ein beliebiges Vielfaches davon außer 0.
Du mußt Dir immer eins klarmachen, wenn Du es mit Vektoren zu tun hast:
Ein Vektor bezeichnet immer eine ganze Klasse von unendlich vielen Pfeilen, die alle in die gleiche Richtung zeigen und die gleiche Länge haben.
Der Vektor (1/2/3) etwa muß nicht vom Ursprung des Koordinatensystems ausgehen, sondern er kann beliebig im Raum verschoben werden, solange man nicht seine Richtung ändert oder ihn dehnt oder staucht. Es bleibt immer der gleiche Vektor.
Wenn dieser Vektor als Richtungsvektor für eine Gerade oder Ebene dienen soll, mußt Du zwei Dinge mit ihm anstellen: Du mußt ihn an einem bestimmten Punkt festbinden und Du mußt ihm einen Faktor voranstellen, so daß seine Länge beliebig verändert werden kann und daß er - ist der Faktor negativ - sogar in die Gegenrichtung weisen kann.
Nur so sind alle Punkte einer Geraden beschrieben.
Wenn Du also Deinen Vektor (1/2/3) an einem Punkt (2/-1/4) festmachst und ihm einen Faktor r mitgibst, kannst Du von diesem Punkt beliebig weit in die Richtung gehen, die der Vektor zeigt, bzw. genau in die Gegenrichtung. So kannst Du, je nachdem, wie Du r wählst, jeden Punkt auf der Geraden erreichen.
Gleichung der Geraden: g=(2/-1/4)+r*(1/2/3)
Bei einer Ebene läuft das ähnlich. Allerdings hast Du hier zwei Richtungsvektoren, die von irgendeinem Punkt in der Ebene ausgehen und die jeder einen Faktor haben. Sie dürfen allerdings nicht parallel zueinander liegen, sie müssen linear unabhängig sein, sonst spannen sie keine Ebene auf.
Linear unabhängig sind sie immer dann, wenn ihr Kreuzprodukt nicht den Nullvektor ergibt.
(2/-1/4)+r*(1/2/3)+s*(3/0/-4) etwa wäre die Gleichung einer Ebene. Ausgehend von dem festen Punkt kannst Du durch entsprechendes Wählen von r und s jeden möglichen Punkt darin erreichen.
Diese Art einer Ebenengleichung nennt man Punkt-Richtungsform oder Parameterform, weil sie durch einen festen Punkt und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren mit den Parametern r und s (oder wie sie sonst heißen mögen) beschrieben wird.
Es gibt außerdem noch die Koordinatenform.
Sie bekommst Du, wenn Du das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren bildest:
(1/2/3)x(3/0/-4)=(-8/13/-6)
Das sind die Parameter für x, y und z der Ebenengleichung:
-8x+13y-6z=?
Für das Fragezeichen setzt Du das Ergebnis der Gleichung ein, wenn Du für x, y und z einen Punkt der Ebene einsetzt. Das wäre hier der Punkt (2/-1/4), von dem die beiden Richtungsvektoren ausgehen.
-8*2+13*(-1)-6*4=-53
Die Koordinatengleichung der Ebene lautet also -8x+13y-6z=-53
Nun gibt es noch eine dritte Möglichkeit, eine Ebene zu beschreiben, nämlich die Normalenform.
Die macht sich die Tatsache zunutze, daß das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht aufeinanderstehen, gleich Null ist.
Wenn Du also den Normalenvektor einer Ebene hast, dann ist jeder Vektor, der zwei Punkte dieser Ebene verbindet, zu diesem Normalenvektor senkrecht und bildet mit ihm das Skalarprodukt Null.
Einen Vektor zwischen zwei Punkten P und Q bekommst Du, wenn Du die beiden Punkte voneinander abziehst.
Ist der eine Punkt ein fester Punkt in der Ebene und wird der andere frei gewählt, kannst Du so jeden beliebigen Vektor innerhalb der Ebene erzeugen.
Einen festen Punkt haben wir, nämlich (2/-1/4).
Ein beliebiger Punkt ist (x/y/z).
Wenn wir von diesem Punkt (x/y/z) den Punkt (2/-1/4) abziehen, bekommen wir als Ergebnis (x/y/z)-(2/-1/4). Statt (x/y/z) hast Du normalerweise ein x mit einem Pfeil darüber stehen. Das bedeutet einen x-beliebigen Punkt bzw. Ortsvektor zu einem x-beliebigen Punkt, also die Verbindung zwischen dem Ursprung des Koordinatensystems und diesem beliebigen Punkt.
Die Verbindung zwischen dem festen und dem beliebigen Punkt kannst Du
x-p nennen. x ist der Ortsvektor zu irgendeinem Punkt, p ist der Ortsvektor zu dem festen Punkt und x-p ist die Verbindung zwischen beiden.
Liegt diese Verbindung innerhalb der Ebene, muß sie zu dem Normalenvektor (-8/13-6) senkrecht sein, mit diesem also das Skalarprodukt Null bilden.
Es muß also gelten: (x-p)·n=0
Wenn Du die Klammer auflöst, bekommst Du nx-np=0 und genau dies ist die Normalengleichung der Ebene. Für p setzt Du die Koordinaten des festen Punktes und für n die Koordinaten des Normalenvektors ein.
Hier hast Du dann also (-8/13/-6)*x-(-8/13/-6)·(2/-1/4)=0
Das zweite Produkt entspricht der Zahl hinter dem Gleichheitszeichen der Koordinatenform, nämlich -53.
x ist der beliebige Vektor (x/y/z).
Schreibst Du es aus, kommst Du wieder auf die Koordinatenform
-8x+13y-6z-(-53)=0 bzw. -8x+13y-6z=-53
Bei Deiner Ebene ist ein Normalenvektor der Vektor (0/0/6), den Du auch zu (0/0/1) kürzen kannst. Es handelt sich um den Einheitsvektor der z-Achse.
Jeder Punkt x, der die Gleichung (0/0/1)·x-(0/0/1)·(1/2/0)=0 erfüllt, ist ein Punkt dieser Ebene.
Herzliche Grüße,
Willy
Meinst du das so oder anders?
Ne in der Klammer sollen das immer drei zahlen sein:
A(1;2;0) B(2,5 ; 4 ; 0) C( 1 ; 6 ; 0) und S( 1 ; 4,48 ; 1,87)