Wie komme ich von diesem Graph auf den Funktionsterm (Betragsterm)?
Hey Leute, hab folgende Aufgabe: siehe Anhang.
Kann mir jemand erklären wie man vom Graphen auf den Funktionsterm kommt?
g(x)= |x+a|+bx+c
Gruß Daniel
3 Antworten
Wir vereinfachen nun das Problem und wollen zunächst eine Funktion finden von folgender Gestalt:
{ 0 , x <= 0
f(x) = { x , x > 0
Wir setzen an zu:
f(x) = (x + |x|)/2
wie man schnell durch Einsetzen feststellt erfüllt dieser Ansatz die oben gestellten Ansprüche.
Mit der Kenntnis der Lösung obigen Problems ist die Lösung dieser Aufgabe trivial:
g(x) = x + f(x - 1) = x + ((x - 1) + |x - 1|)/2 = x + |x - 1|/2 - 1/2
durch Koeffizientenvergleich erhalten wir:
a = - 1
b = 1
c = -1/2
Hallo Poseidon42, könntest du was zu den ersten drei Gleichungen schreiben
"{ 0 , x <= 0
f(x) = { x , x > 0
Wir setzen an zu:
f(x) = (x + |x|)/2 "
versteh nicht ganz wie du darauf kommst.
Danke schonmal!
Wie angedeutet wollen wir halt zunächst ein viel einfacheres Problem lösen. Wir wollen eine stückweise lineare Funktion finden, welche für x > 0 sich wie eine normale lineare Funktion der Form f(x) = x verhält. Für x < 0 soll diese jedoch verschwinden, also gleich 0 sein. Sei diese gesuchte Funktion nun h(x), wir erhalten also als Gleichung für die beiden Bereiche:
h(x) = 0 für x < 0
h(x) = x für x > 0
Im nächsten Schritt wollen wir nun eine geschlossene Darstellung dieser Funktion finden. Wir setzen nun an mittels kreativer Null für den Bereich x < 0 :
h(x) = 0 = x - x = x + |x| ( da x < 0 !!! )
Fügen wir nun noch einen weiteren Vorfaktor hinzu, so erhalten wir:
(*) h(x) = a*(x + |x|) für x < 0
Es gilt nun diesen Ausdruck für x > 0 zu erweitern, dazu benutzen wir den künstlich hinzugefügten Freiheitsgrad a. Denn mit:
h(x) = x für x > 0 folgt durch Gleichsetzen mit (*):
x = a*(x + |x|) = a*2*x für x > 0
Wir erhalten damit sofort: a = 1/2 , damit die Gleichung erfüllt ist. Wir erhalten also:
h(x) = (x + |x|)/2 für x aus IR
wir haben damit einen geschlossenen Ausdruck für das vereinfachte Problem gefunden. Die Lösung dieses verhilft uns jetzt die Lösung des ursprünglichen Problems zu bestimmen. Wir erkennen zunächst, dass es sich bei der dargestellten Funktion um eine stückweise lineare Funktion handelt. Vor dem Knickpunkt verhält sich diese wie die Funktion g(x) = x und nach dem Knickpunkt wie eine lineare Funktion mit der Steigung m = 2. Hier kommt nun unsere Lösung des vorherigen Problems ins Spiel. Wir müssen schließlich am Knickpunkt lediglich die Steigung der linearen Funktion vor dem Knickpunkt anpassen an die Steigung nach dem Knickpunkt wobei wir gerade dies können aufgrund der Lösung des vereinfachten Problems. Wir sehen also:
f(x) = x für x < 1
Steigung von f = 1 für x < 1
Steigung von f = 2 für x > 1
Wir folgern daraus sofort:
f(x) = x + h(x - 1)
das Argument von h ist hier nun x - 1, da die Korrektur der Steigung ja schließlich erst ab x = 1 erfolgen soll, daher muss der Graph um eine Einheit in positive x-Richtung verschoben werden.
Wir können nun alle Werte einsetzen und erhalten:
f(x) = x + ((x - 1) + |x - 1|)/2 = (3/2)x + |x - 1|/2 - 1/2
Den Graph der Funktion kannst du hier nocheinmal zur Kontrolle geplottet sehen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((3%2F2)x+%2B+%7Cx+-+1%7C%2F2+-+1%2F2)+for+-1+%3C+x+%3C+2
Bei der Ansatzfunktion (x +|x|) / 2 kommt aber mit x<0 immer 0 heraus und für den oberen Teil stimmt sie nicht!?
Die Ansatzfunktion:
f(x) = (x + |x|)/2 ist lediglich die Lösung des vereinfachten Problems.
Wir sehen schließlich, dass sich die gesuchte Funktion g additiv zusammensetzt aus einer normalen Geradenfunktion gegeben durch h(x) = x und einer weiteren stückweise linearen Funktion gegeben durch f(x - 1). Die Steigung vor dem Knickpunkt ist schließlich 1 und nach dem Knickpunkt 2, daher folgt sofort:
g(x) = h(x) + f(x - 1)
Geplottet kann man das hier sehen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(3%2F2)x+%2B+%7Cx+-+1%7C%2F2+-+1%2F2+++for+++-1+%3C+x+%3C+2
(Ich gebe zu das ich falsch zusammengefasst habe, vor dem x müsste 3/2 anstatt 1 stehen)
Der Funktionsterm ist korrekterweise gegeben zu:
g(x) = (3/2)x + |x - 1|/2 - 1/2
Sollte eigentlich ganz normal klappen:
Ich versuch es einfach mal:
Punkte ablesen: P(0,0), Q(1,1)
g(0)= |a|+c
---> c = -|a|
g(1)= |1+a|+b+c
Nehmen wir uns mal g(1) heraus:
g(1)= |1+a|-b+c = 1
= |1+a| +b -|a| = 1
--> b = -|1+a| +|a| + 1
Jetzt haben wir unser c und unser b.
Jetzt kommt der schwierige Teil. Einen allgemeinen Lösungsweg sehe ich grade nicht, daher schauen wir uns noch mal die Funktion an:
Der Knick tritt auf bei x=1. Also ist es nur logisch g(1)= |1+a|+b+c zu betrachten:
Also wissen wir, dass unser a entweder >= 1 oder <= -1 sein muss.
g(1) = |1+a|+(-|1+a| +|a| + 1) -|a| = 1
= -2|a| +1 = 1
---> a = 0 und damit a <= 1
Unsere Funktion müsste dann lauten:
g(x)= |x+a|+(-|1+a| +|a| + 1)x - |a| | mit a <= -1
// Kleiner Nachtrag. Die Aufgabe war doch komplizierter als anfangs angenommen.
Ich schau es mir grade im nach hinein noch mal an. Scheint sich wohl keiner wirklich durchgelesen zu haben. Ein Zwischenschritt ist falsch, aber das Endergebnis scheint trotzdem zu stimmen.
Zunächst einmal bietet sich an, eine zusammengesetzte Funktion zu definieren.
Man verschiebt dann die Knickstelle in den Ursprung und setzt die Funktion aus einem "geraden" und einem "ungeraden" Anteil zusammen (bzw. zerlegt die Funktion in ihren "geraden" und "ungeraden" Anteil). Der "gerade" Anteil ist die Betragsfunktion mit einem Vorfaktor, der "ungerade" Anteil die "Identität" (y=x) mit einem Vorfaktor.
Wenn man das hat, macht man die Verschiebung wieder rückgängig.
Zum weiteren Vereinfachen multipliziert man den Term außerhalb des Betrages aus.
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Zu "gerader" und "ungerader" Anteil einer Funktion siehe https://www.google.de/search?q=gerader+ungerader+anteil+einer+funktion&ie=utf-8&oe=utf-8 und http://www.matheboard.de/archive/550809/thread.html
Hi PWolff, nach dem verschieben sieht meine zusammengesetzte Funktion so aus:
f(x)= / |2x| für x >= 0
\ x für x < 0
fgerade wäre dann " |2*x| " und fungerade " x "
folglich wäre f = |2*x| + x. Komm hier nun leider schon nicht weiter.
Das Ergebnis müsste "g(x) = (3/2)x + |x - 1|/2 - 1/2 "sein.
Vielen Dank schonmal!
Der Graph von g(x) geht durch (-3|-3);(1|1);(5/3|3)
Hieraus 2 Halbgeraden zu machen erspare ich mir
Verschiebung und Rückverschiebung:
x' := x - 1 ; x = x' + 1
y' := y - 1 ; y = y' + 1
Dabei: g(x) = y; h(x) = y'
y' = h(x') = h1(x') = 3 x' ; x >= 0
y' = h(x') = h2(x') = x' ; x < 0
h_gerade(x') = 1/2 (h1(x') + h2(-x')) ; x >= 0
= 1/2 (3 x' + (-x'))
= 1/2 (2 x')
= x' ; x >= 0
h_gerade(x') = 1/2 (h2(x') + h1(-x') ; x < 0
= 1/2 (x' + 3 (-x'))
= 1/2 (-2 x')
= -x' ; x < 0
Betragsfunktion nutzen:
h_gerade(x') = |x'|
h_ungerade(x') = 1/2 (h1(x') - h2(-x')) ; x >= 0
= 1/2 (3 x' - (-x'))
= 1/2 (4 x')
= 2 x' ; x' >= 0
h_ungerade(x') = 1/2 (h2(x') - h1(-x')) ; x' < 0
= 1/2 (x' - 3 (-x'))
= 1/2 (4 x')
= 2 x' ; x <0
Zusammenfassen:
h_ungerade(x') = 2 x'
Damit
h(x') = h_gerade(x') + h_ungerade(x*)
= |x'| + 2 x'
Sowie
g(x) = y = y' + 1
= h(x') + 1
= |x'| + 2 x' + 1
= |x-1| + 2 (x-1) + 1
= |x-1| + 2 x - 2 + 1
= |x-1| + 2 x - 1
Ich möchte an der Stelle eine Korrektur anführen, da ich im letzten Schritt bei dem Zusammfassen einen kleinen Rechenfehler gemacht habe. Die Funktion folgt natürlich korrekterweise zu:
g(x) = x + f(x - 1) = x + ((x - 1) + |x - 1|)/2 = (3/2)x + |x - 1|/2 - 1/2
Also:
g(x) = (3/2)x + |x - 1|/2 - 1/2