Verstehe den Rechenweg nicht ( Stammfunktion und Integral)?
bei der 8a) versuche ich den Funktionsterm des Graphen aufzustellen. Ich weiß, dass die Form f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d ist. Aber die restlichen Schritte, wie dass d und b null ist verstehe ich kaum. Kann mir jemand bitte die Lösung erklären?
7 Antworten
Die Grundform f(x) = ax³ + bx² + cx + d hast du ja schon.
Auch die Bedingungen:
f(-3) = 0
f(3) = 0
f(0) = 0
f(-1) = 1
Nun hast du in den Klammern (…) die Werte für x und hinter dem Gleichheitszeichen die Werte für f(x).
Für x = -3 ist f(x) = 0. Entsprechend auch mit den anderen drei Zeilen.
Nun nimmst du diese x und setzt sie in die Grundform ein. Jedes x ersetzt du durch den Wert. Bei x = -3 ersetzt du x durch -3. Also hast du:
a (-3)³ + b (-3)² + c (-3) + d. Das kannst du umformen in -27a + 9b -3c + d.
Das machst du mit den anderen auch. Wenn du für x = 0 einsetzt, so fallen die Teile mit a, b und c weg, weil 0 mal irgendwas immer 0 ergibt. f(0) = 0, also 0a + 0b + 0c + d = 0. Daraus erkennt man, dass d = 0 ist.
Nun hast du noch drei weitere Gleichungen, in denen die Buchstaben a, b und c vorkommen. Bei denen mit f(-3) und f(3) hast du das schon ausgerechnet. Wenn du diese beiden Gleichungen addierst (ja, das darfst du), dann hast du: 18b = 0. Daraus folgt, dass b = 0 ist.
Das gilt allgemein bei linearen Gleichungssystemen, dass man Zeilen addieren und subtrahieren kann.
Kommt insbesondere beim Gaussverfahren vor. Damit löst man lineare Gleichungssysteme.
Die Nullstellen x = (-3), x = 0 und x = 3 liest aus der Zeichnung ab. Dort gilt jeweils f(x) = 0.
Für f(0) = 0 ergibt sich …
f(0) = a • 0³ + b • 0² + c • 0 + d = 0
… woraus …
d = 0
… folgt.
Bei den beiden anderen Nullstellengleichungen setzt diese gleich und erhältst b = 0.
Aus …
f(1) = (-1)
… folgt mit b = 0 und d = 0 …
f(1) = a • 1³ + 0 • 1² + c • 1 + 0 = (-1)
… und daraus …
a + c = (-1)
Das setzt in die beiden Gleichungen 27a… = 0 und (-27)a… = 0 ein, setzt beide wieder gleich und bekommst so die Werte für a und c.
wenn du für x in die Funktion 0 einsetzt, erhältst du: f(0) = 0xa^3+0xb^2+0xc+d
du weisst das f(0) null ergibt
0 x a^3 ist immer Null
0 x b^2 ist auch immer Null
0 x c ist auch immer Null
das heißt -> 0=0+0+0+d -> 0=d
ich hoffe du hast das verstanden :/
Wenn für x Null einsetzt, musst auch für x Null einsetzen und nicht noch die x behalten, und es werden die x-Werte potenziert, nicht die Faktoren.
f(0) = a0^3+b0^2+c0+d
Du bist im Leistungskurs und vergisst die einfachsten Regeln? Du bist nicht hilfreich.
Danke fürs Kompliment. Sowas passiert halt ... beurteile mich nicht nach einem leichten Fehler ... ich bin nicht ohne Grund Mathe LK
Doch, ich beurteile Dich nach dem, was hier hinterlässt, andere Möglichkeiten habe ich nicht, und es ist kein leichter Fehler, sondern Deine Antwort grundlegend falsch.
Wenn Dir bis heute niemand beigebracht hat, Geschriebenes vor dem „Abgeben“ noch einmal durchzulesen und gegebenenfalls zu korrigieren, solltest das dringend nachholen.
Punktsymetrie f(x)=-1*f(-x) Beispiel: y=f(x)=sin(x)
die Exponenten n=ungerade Beispiel: y=f(x)=2*x³-4*x hier n=ungerade (3 u. 1)
Achssymetrie f(x)=f(-x) Beispiel y=f(x)=cos(x) Rechner auf rad (Radiant einstellen)
die Exponenten n=gerade Beispiel y=f(x)=1*x⁴-2*x²-5 hier n=gerade (4 u. 2)
-5 verschiebt den Graphen nur nach unten
Zeichne beide Funktionen mit deinem Graphikrechner (GTR).
Wenn du keinen GTR hast,dann besorge dir privat solch ein Ding,sonst kannste gleich einpacken !!
a) Dies ist eine Steckbriefaufgabe (Rekonstruktion,Modellierungsaufgabe).Steckbrief- aufgaben führen immer zu einem linearen Gleichungssystem (LGS),was dann gelöst werden muss.
y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao abgeleitet
f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x+a1
f´´(x)=6*a3*x+2*a2
mit x=0 Graph geht durch den Ursprung f(0)=a3*0³+a2*0²+a1*0+ao also ao=0
1) f(1)=-1=a3*1³+a2*1²+a1*1 aus f(1)=-1 Punkt P1(1/-1)
2) f(3)=0=a3*3³+a2*3³+a1*3 aus der Nullstelle im Bild f(3)=0 P2(3/0)
3) f(-3)=0=a3*(-3)³+a2*(-3)²+a1*(-3) aus Nullstelle im Bild f(-3)=0 P3(-3/0)
Dieses lineare Gleichungssystem (LGS) mit den Unbekannten,a3,a2 und a1 schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.
1) 1*a3+1*a2+1*a1=-1
2) 27*a3+9*a2+3*a1=0
3) -27*a3+9*a2-3*a1=0
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio),a3=0,125 und a2=0 und a1=-1,125
gesuchte Funktion y=f(x)=0,125*x³-1,125*x
zu b) Formel f(x)=-1 f(-x) Werte einsetzen x1=1 und x2=-1
f(1)=-1*f(-1) beide Funktionswerte müssen gleich sein
zu c) Man darf nicht über NULLSTELLEN hinweg integrieren !!
bei der Integration erhalten Flächen über der x-Achse ein positives Vorzeichen und Flächen,die unter der x-Achse liegen ein negatives Vorzeichen.
Deshalb werden die Flächen nicht zu einer Gesamtfläche addiert,sondern voneinander subtrahiert !!
Die einzelnen Flächen zwischen xu=-4 und xo=4 sind von Betrag her gleich groß
Integriert man über die Nullstellen hinweg,so subtrahiert man die unteren Flächen von den oberen Flächen und das ergibt dann NULL.
Beispiel: A(gesamt)=10 FE -10 FE=0 FE (Flächeneinheiten
obere Flächen minus untere Flächen=0 wenn A(oben)=A(unten)
zu d) A(oben)-A(unten)=0 ergibt A(oben)=A(unten)
Beide Flächen sind gleich groß !!
Die linke Fläche liegt über der x-Achse und die rechte Fläche liegt unter der x-Achse.
Diese Aufgabe ist besonders einfach und man kann hier die Nullstellenform anwenden
Bildungsgesetz der kubischen Funktion
y=f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*a
x1,x2 und x3 sind die reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)
Das Ganze wird dann mit dem Faktor "a" mal genommen (multipliziert)
aus der Zeichnung x1=-3 und x2=0 und x3= 3 ergibt
f(x)=(x-(-3))*(x-0)*(x-3)*a=(x+3)*x*(x-3)*a ergibt die Form
f(1=-1=(....)*a ergibt a=-1/(.....) aus Punkt f(1)=1 P(1/-1)
Hinweis:Hier kann man diesen Rechenweg wählen,was bei anderen Aufgaben nicht möglich ist.
Für Steckbriefaufgaben werden auch die Ableitungen der Funktion benötigt.
hier also die Formeln
1) f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao abgeleitet
2) f´(x)=m=3*a3*x²+2*a2*x wenn Extrema gegeben sind
3) f´´(x)=6*a3*x+2*a2 wenn der Wendepunkt gegeben ist
vielen Dank, warum aber darf ich die beiden Gleichungen für f(3) und f-3) addieren? LG