wie kann ich zeigen das die Abbildung surjektiv ist?
hi
ich hab die Abbildung gegeben h:R→R2, x→h(x):=(7x+1,x^2)
injektivität hab ich gezeigt, brauche nur noch zu wissen wie man zeigt, dass die Abb. surjektiv ist
danke
3 Antworten
Gar nicht.
Die Abbildung wäre genau dann surjektiv, wenn es zu jedem (a, b) ∈ ℝ² ein x ∈ ℝ mit h(x) = (a, b) gibt.
Du müsstest also zeigen, dass es zu jedem (a, b) ∈ ℝ² ein x ∈ ℝ mit 7x + 1 = a und x² = b gibt.
Jedoch ist offensichtlich x² ≥ 0 für jedes x ∈ ℝ, b kann jedoch auch negativ sein.
So findet man also beispielsweise zu (a, b) = (0, -1) ∈ ℝ² kein x ∈ ℝ mit h(x) = (a, b). Dementsprechend folgt: h ist nicht surjektiv.
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Man kann sich auch anschaulich vorstellen, wie die Bildmenge von h aussieht: Das ist „nur“ eine Kurve in der Ebene, welche nicht die gesamte Ebene bedeckt. Wenn h surjektiv wäre, müsste die Kurve jedoch die gesamte Ebene bedecken.
Damit die Abbildung surjektiv wäre, müsstest du zu jedem Punkt (x', y') ein x finden mit h(x) = (x', y'). Das geht aber für negative Zahlen y' nicht, da x^2 immer positiv ist. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.
Wie soll denn eine polynomiale Abbildung von R nach R^2 surjektiv sein können? Um eine surjektive Abbildung dieser Art hin zu bekommen mußt du schon ein wenig mehr Arbeit aufwenden.
Hinweis: Diese Abbildung deckt nur den I. und II. Quadranten der Zahlenebene ab.
ahh okay ich verstehe danke. Also auch ganz anders gesagt
(0,0) ∈ ℝ²
aber 7x + 1 = a <==> x=-1/7
und x² =b <==> x=0
und das wäre ein Widerspruch, weil (a,b) nicht aufs gleiche x Element zielt