Beweis der Injektivität bei der Abbildung ∀ A,B⊆M: f(A∩B) ⊆ f(A)∩ f(B)?
Hallo, wie auch schon in der Frage erwähnt, muss ich die Injektivität von f in der folgenden Abbildung
∀ A,B⊆M: f(A∩B) ⊆ f(A)∩ f(B) beweisen, dabei ist mir sonst nur gegeben, dass f: M-> N die Abbildung ist um die es hier geht.
Den Begriff der Injektivität und der Abbildung kenne ich schon, allerdings fällt es mir hier schwer den Zusammenhang zu finden und ihn zu beweisen. Gibt es hier irgendjemanden, der mir hier das erklären kann? Auf anderen Seiten des Internets werden meistens nur die Begriffe erklärt und nicht wie man es anwendet.
Ich bedanke mich schonmal im Voraus:))
Irgendetwas stimmt an der Fragestellung nicht, denn die Eigenschaft ∀ A,B⊆M: f(A∩B) ⊆ f(A)∩ f(B) gilt ja für jede Abbildung f. Was da steht, definiert keine Abbildung.
Ich habs schlecht erklärt, tut mir leid
Die genaue Aufgabenstellung: Sind M & N Mengen, M-> N eine Abbildung.
Zeige, dass
∀ A,B⊆M: f(A∩B) ⊆ f(A)∩ f(B)
dann gilt, wenn f injektiv ist
Wie lautet also die korrekte Formulierung der Aufgabe?
habs sehr schlecht erklärt, tut mir leid:(
Die genaue Aufgabenstellung: Sind M & N Mengen, M-> N eine Abbildung.
Zeige, dass
∀ A,B⊆M: f(A∩B) ⊆ f(A)∩ f(B)
dann gilt, wenn f injektiv is
2 Antworten
Nachdem wir immer noch nicht wissen, wie die korrekte Formulierung der Aufgabenstellung lautet, versuche ich es mal mit 3 Aussagen, die eine möglichst große Ähnlichkeit mit deinen bisherigen Formulierungen der Aufgabenstellung haben.
(0) Seien M und N Mengen, und f: M → N eine Abbildung
Zeige, dass
(1) ∀A,B⊆M: f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B)
dann gilt.
Zeige, dass
(2) ∀A,B⊆M: f(A∩B) ⊇ f(A)∩f(B)
dann gilt, wenn f injektiv ist.
(2') f injektiv ⇒ ∀A,B⊆M: f(A)∩f(B) ⊆ f(A∩B)
Zeige, dass
(3) ∀A,B⊆M: f(A∩B) ⊇ f(A)∩f(B)
nur dann gilt, wenn f injektiv ist.
(3') (∀A,B⊆M: f(A)∩f(B) ⊆ f(A∩B)) ⇒ f injektiv
Dabei bedeutet X⊆Y, dass X=Y oder X echte Teilmenge von Y ist. Und Y⊇X bedeutet X⊆Y.
(2') ist logisch äquivalent zu (2), (3') ist logisch äquivalent zu (3).
In den unten stehenden Beweisen folgen die Beweisschritte wegen der jeweils angegebenen Begründungen.
Beweis von (1):
(4) Seien A, B ⊆ M
(5) Sei y∈f(A∩B)
(6) ∃x∈A∩B: y=f(x) wg. (5) & Def. f(A∩B)
(7) x∈A & x∈B wg. (6) & Def. ∩
(8) f(x)∈f(A) & f(x)∈f(B) wg. (7) & Def. f(A), f(B)
(9) f(x)∈f(A)∩f(B) wg. (8) & Def. ∩
(10) y∈f(A)∩f(B) wg. (9) & (6)
(11) ∀y: y∈f(A∩B) ⇒ y∈f(A)∩f(B) wg. (5) & (10)
(12) f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B) wg. (11) & Def. ⊆
(13) ∀A,B⊆M: f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) wg. (4) & (12)
q.e.d.
Beweis von (2')
(14) Sei f injektiv
(15) Seien A, B ⊆ M
(16) Sei y∈f(A)∩f(B)
(17) y∈f(A) & y∈f(B) wg. (16) & Def. ∩
(18) ∃a∈A,b∈B: y=f(a), y=f(b) wg. (17) & Def. f(A), f(B)
(19) f(a)=f(b) wg. (18)
(20) a=b wg. (14) & (19)
(21) a∈A & a∈B wg. (18) & (20)
(22) a∈A∩B wg. (21) & Def. ∩
(23) f(a)∈f(A∩B) wg. (22) & Def. f(A)
(24) y∈f(A∩B) wg. (23) & (17)
(25) ∀y: y∈f(A)∩f(B) ⇒ y∈f(A∩B) wg. (16) & (24)
(26) f(A)∩f(B) ⊆ f(A∩B) wg. (25) & Def. ⊆
(27) ∀A,B⊆M: f(A)∩f(B) ⊆ f(A∩B) wg. (15)(26)
(28) f injektiv ⇒ ∀A,B⊆M: f(A)∩f(B) ⊆ f(A∩B) wg. (14) & (27)
q.e.d.
Beweis von (3')
(29) Es gelte ∀A,B⊆M: f(A)∩f(B) ⊆ f(A∩B)
(30) Seien a∈A, a∈B mit f(a)=f(b)
(31) {f(a)}={f(b)} wg. (30)
(32) f({a})={f(a)}, f({b})={f(b)} wg. Def. f({a}), f({b})
(33) f({a})=f({b}) wg. (31) & (32)
(34) f({a})∩f({b}) = f({a}) wg. (33)
(35) f({a})∩f({b}) ⊆ f({a}∩{b}) wg. (29) mit A:={a},mit B:={b}
(36) f({a}) ⊆ f({a}∩{b}) wg. (34) & (56)
(37) {f(a)} ⊆ f({a}∩{b}) wg. (36) & (32)
(38) f(a) ∈ f({a}∩{b}) wg. (37)
(39) ∃x∈{a}∩{b}: f(a)=f(x) wg. (38)
(40) x=a & x=b wg. (39)
(41) a=b wg. (40)
(42) ∀a∈A,a∈B (f(a)=f(b) ⇒ a=b) wg. (30) & (41)
(43) f injektiv wg. (42) & Def. "injektiv"
(44) (∀A,B⊆M:f(A)∩f(B)⊆f(A∩B)) ⇒ f injektiv wg. (29) & (43)
q.e.d.
Bitte nachprüfen!
Nach der Korrektur gibt die Fragestellung zwar Sinn, aber man wundert sich trotzdem:
Denn wenn f eine beliebige Abbildung ist, enthält natürlich f(A) die Bildwerte der Elemente jeder beliebigen Teilmenge von A, insbesondere gilt also f(A∩B) ⊆ f(A). Da dasselbe auch für f(B) gilt, folgt für beliebige Teilmengen A, B von M:
f(A∩B) ⊆ f(A)∩ f(B).
Was soll die Voraussetzung der Injektivität von f dabei?
(Sollte es nicht um die Inklusion, sondern um die Gleichheit von f(A∩B) und f(A)∩ f(B) gehen, sähe die Sache allerdings anders aus!)