Wie beweise ich die Aussage, dass das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl immer die Form 8m + 1 hat, wobei m eine ganze Zahl ist?
Hallo zusammen Ich beisse mir an folgender Aussage seit mehreren Stunden die Zähne aus:
Das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl hat immer die Form 8m + 1, wobei m eine ganze Zahl ist.
Und nun soll ich diese Aussage beweisen. Aus meiner Sicht stimmt diese Aussage bei x = 9 und m = 3 nicht, denn x^2 = 8m + 1 --> 81 != 8*3 + 1
Oder verstehe ich die Aufgabe vollkommen falsch? :S
Ich bedanke mich bereits jetzt für eure hilfreichen Antworten! :)
7 Antworten
Hallo,
Du könntest es etwa so beweisen:
Eine ungerade ganze Zahl läßt sich als 2z-1 darstellen, wobei z;mϵℤ .
Dann ist das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl (2z-1)²=4z²-4z+1.
Es soll gelten:
4z²-4z+1=8m+1
Die 1 kann man auf beiden Seiten subtrahieren.
Es bleibt:
4z²-4z=8m
4(z²-z)=8m
z²-z=2m
2m ist eine gerade Zahl.
Auch z²-z ist immer eine gerade Zahl.
Wenn z ungerade ist, ist auch z² ungerade. Wenn von dieser ungeraden Zahl z (nach Voraussetzung ungerade) subtrahiert wird, erhält man eine gerade Zahl.
Ist z dagegen gerade, gilt das auch für z².
Wenn von dieser geraden Zahl eine gerade Zahl abgezogen wird, bleibt das Ergebnis gerade.
Somit findet sich für jedes z ein m, so daß die Gleichung z²-z=2m erfüllt wird.
Somit gilt auch die ursprüngliche Aussage: Das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl läßt sich als 8m+1 darstellen.
Herzliche Grüße,
Willy
Verbesserungsvorschlag:
Es ist z² - z = z(z-1).
Dann gilt:
Wenn z gerade ist, dann ist z-1 ungerade.
Wenn z ungerade ist, dann ist z-1 gerade.
Folglich ist z(z-1) = z² - z gerade.
Wenn dir ein expliziter Beweis zu kompliziert ist, dann machs mit vollständiger Induktion:
Annahme: Wenn es für n gilt, dann gilt es auch für n+2
für n=1 gilt die Aussage: 1²=1=8*0+1 (m wäre in diesem Fall 0)
Beweis:
(n+2)² = n² + 4n+4 = n²+ 4(n+1)
- da n ungerade ist n+1 gerade - ist also durch 2 teilbar
- wenn (n+1) durch 2 teilbar ist dann ist 4(n+1) durch 8 teilbar.
lässt sich also notieren als 8x (x beliebige ganze Zahl)
Wenn also n² geteilt durch 8 den Rest 1 ergibt - dann dann tut
n² + 8x das auch.
(Ist jetzt ein bißchen krude auf die Schnelle zusammengeschrieben,
aber ich denke zum Verständnis reicht das aus ;-)
Vorbetrachtung:
m = 0: 8 * 0 + 1 = 1 = 1²
m = 1: 8 * 1 + 1 = 9 = 3²
m = 3: 8 * 3 + 1 = 25 = 5²
m = 6: 8 * 6 + 1 = 49 = 7²
m = 10: 8 * 10 + 1 = 81 = 9²
m = 15: 8 * 15 + 1 = 121 = 11²
Offenbar findet man eine Folge für die Werte von m:
(a(n))n := { 0; 1; 3; 6; 10; 15; ... }
Für (a(n))n lässt sich die explizite Vorschrift
a(n) = 1/2 n (n-1)
finden.
Zu zeigen ist:
8m +1 = 8 * 1/2 n (n-1) + 1 = (2n-1)² = k²
Es ist
8 * 1/2 n (n-1) + 1 = 4n(n-1) + 1 = 4n² - 4n + 1 =
(2n)² - 2 * 2n * 1 + 1 = (2n-1)².
mod(q,2) != 0 ==> mod(q,8) € {1;3;5;7}
1² = 1 mod 8
3² = 9 = 1 mod 8
5² = 25 = 1 mod 8
7² = (-1)² = 1 mod 8
also:
mod(q,2) != 0 ==> mod(q,8) € {1;3;5;7} ==> mod(q²,8)=1.
Q.E.D.
Oder verstehe ich die Aufgabe vollkommen falsch? :S
Ja das verstehst du falsch. Es heißt ja nicht: Das Quatrat einer Zahl m hat die Form 8m+1.
81 = 8 * 10 + 1
Die Aussage stimmt dennoch nicht.
2² = 4 = 8m +1
=> m = 3/8 keine ganze Zahl.
Danke Willy für diese ausführliche und vor allem einfach verständliche Antwort. :)