f(t) = -0,01t³ +0,32t² -2,08t +6,84
f '(t) = -0,03t² +0,64t -2,08
f ''(t) = -0,06t +0,64
Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem t den Steigungswert des Graphen von f zuordnet.
In Aufgabenteil (a) muss also f '(t) = 1 vorausgesetzt werden.
f '(t) = 1
1 = -0,03t² +0,64t -2,08
0 = -0,03t² +0,64t -3,08
0 = -3/100 t² + 64/100 t - 308/100
0 = t² - 64/3 t + 308/3
t = 32/3 +- Wurzel( 1024/9 - 924/9 )
t = 32/3 +- Wurzel( 100/9 )
t = 32/3 +- 10/3
t1 = 22/3
t2 = 14
Interpretation: Um 7:20 Uhr und um 14:00 Uhr nimmt die Temperatur um 1 Grad pro Stunde zu.
Für Aufgabenteil (b) muss f '(t) = 0 gesetzt werden, denn man sucht die Extremstellen von f.
f '(t) = 0
0 = -0,03t² +0,64t -2,08
0 = -3/100 t² + 64/100 t - 208/100
0 = t² - 64/3 t + 208/3
t = 32/3 +- Wurzel( 1024/9 - 624/9 )
t = 32/3 +- Wurzel( 400/9 )
t = 32/3 +- 20/3
t1 = 4
t2 = 52/3
f ''(4) = -0,06 * 4 + 0,64 = 0,4 > 0
f ''(52/3) = -3/50 * 52/3 + 16/25 = -1,44 < 0
Folglich wird um 4:00 Uhr die Tiefsttemperatur und um 17:20 Uhr die Höchsttemperatur des Tages erreicht. Die Tiefsttemperatur wird aber auch um 24:00 Uhr erreicht.