Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann kann ihr Quadrat auch gerade sein. Ist dieser Satz richtig?

Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann kann ihr Quadrat auch gerade sein. Ist dieser Satz richtig?

Nein. Wenn n∈ℕ prim ist, enthält n² nur n als Primfaktor, wenn auch doppelt. Ist n nicht prim, so lässt sie sich in Primfaktoren zerlegen:

n = ∏ₖ nₖ, nₖ∈ℕ und nₖ prim.

Die Zahl n² enthält genau dieselben Primfaktoren wie n, nur halt je zwei mal, aber die 2 selbst taucht unter diesen Faktoren nur dann auf, wenn n bereits grade ist. In dem Fall ist auch ½n² noch gerade, d.h.

¼n² ∈ ℕ,

da n² den Faktor 2 mindestens doppelt enthält.

Ist n ungerade, so enthält sie auch nicht den Faktor 2, und n² auch nicht.

Nein

Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten des Beweises:

1) UNgerade heißt, es gibt eine Darstellung der Form 2n+1, dann ist das Quadrat aber (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1, also auch eine ungerade Zahl

2) Ungerade heißt, x = 1 (mod2), dann gilt aber auch x^2 = 1^2 = 1 mod 2, also auch ungerade

3) Bei einer ungeraden Zahl x taucht keine 2 in der Primfaktorzerlegung auf, diese kann bei x * x aber auch nicht plötzlich auftauchen, denn auch das zweite x hat keine 2 in der Primfaktorzerlegung

Das sind 3 mögliche Beweise

(2n+1)^2=(2n)^2+2*2n*1+1^2=4n^2+4n+1^2
=2*2n^2+2*2n+1
=2*(2n^2+2n)+1

ergo ist die aussage falsch. das quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade!

Das kann man Mittels einer Primfaktorzerlegung demonstrieren. 
Eine ungerade Zahl kann keine 2 als Primfaktor haben, dementsprechend kann auch nicht ihr Produkt mit sich selbst die 2 als Primfaktor enthalten. 

Nein, kann sie nicht.