Wie berechnet man folgende Teleskopsumme?

Folgende Summe wurde uns gegeben:

$\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\left(k+1\right)^3-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^nk^3$

Die Antwort war diese:

$\frac{1}{3}\left(n+1\right)^3-\frac{1}{3}$

Ich konnte aber leider nicht nachvollziehen, wie man an diese Antwort kommen könnte. Ich bedanke mich schonmal im voraus für die Antworten :)

Answer 1

[Suboptimierer]

⅓ lässt sich ausklammern.

⅓ * (Summe₁ - Summe₂)

Summe₁ summiert 2³ bis (n+1)³ → 2³ + ... + n³ + (n+1)³

Summe₂ summiert 1³ bis n³ → 1³ + 2³ + ... + n³

Gemeinsam haben S₁ und S₂ also 2³ bis n³. Es bleiben (n+1)³ von der ersten Summe und (-)1³ von der zweiten Summe. Der Rest hebt sich durch die Subtraktion auf.

Es bleibt ⅓ ((n+1)³ - 1³) = ⅓(n+1)³ - ⅓

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik

Answer 2

[Littlethought]

Für die drei letzten Summen gibt es Formeln.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Lehrer u. Fachbetreuer für Mathematik und Physik i.R.

Comments

[Suboptimierer]

Man könnte das mit der Herleitung der Summe der Quadratzahlen kombinieren.

http://was-die-welt-im-innersten-zusammenhaelt.de/eine-einfache-herleitung-der-summe-von-quadratzahlen/

Σ(x², x=1..n) = 1/3(n+1)³ - 1/3(n+1) - n*(n+1)/2

Das quadratische Glied eingesetzt lässt -1/3(n+1) zu -1/3 beim Verrechnung mit 1/3*Sum(1, k=1..n) schrumpfen.
Der Gauß hebt sich komplett auf.
Das vordere Glied 1/3(n+1)³ bleibt bestehen.