Rechnen mit Doppelsummen?
Grüßt euch ihr Lieben,
ich habe eine Doppelsumme gegeben und kann einige Schritte der Musterlösung nicht nachvollziehen. Ich soll die Summe der gegebenen Doppelsumme bestimmen. Es geht um folgende Doppelsumme:
Mir ist unklar, wie man auf (K^2 -(K(K+1))/2)) kommt. Für K hat man einfach die allg. Summenformel übernommen, aber wie ist man auf K^2 gekommen? Ich habe schon einige Überlegungen angestellt, aber das hat nicht wirklich was gebracht. Es geht mir nur um das K^2.
4 Antworten
Hallo,
Du setzt für k nacheinander 1, 2, 3...n ein und prüfst, was das für die rechte Summe bedeutet.
Für k=1 ist das einfach. Da v von 1 bis k geht und k=1, ist der erste Summand einfach 1-1=0.
Der zweite Summand kommt dadurch zustande, daß Du in (k-v) für k eine 2 einsetzt und für v zunächst die 1, danach die 2:
(2-1)+(2-2)=1+0=1.
Der zweite Summand lautet also 1.
Der dritte Summand für k=3 lautet (3-1)+(3-2)+(3-3), denn k ist jetzt 3 und v läuft von 1 bis 3. Das ergibt 2+1+0=3
Der dritte Summand ist also 3.
Der vierte für k=4 lautet (4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4)=3+2+1+0=6.
Wenn Du also in die Doppelsumme k=4 einsetzt, kommst Du auf
0+1+3+6=10, denn Du läßt k nun von 1 bis 4 laufen und addierst die Summanden, die Du aufgrund der rechten Summe mit v=1 bis k berechnet hast.
Es fällt auf, daß die Summanden der Doppelsumme ein bekanntes Muster aufweisen: 0+1+3+6+10+15+...
Das sind die jeweiligen Summen der natürlichen Zahlen von 0 bis k:
0=0; 0+1=1; 0+1+2=3; 0+1+2+3=6; 0+1+2+3+4=10 usw.
Für diese Folge gibt es die bekannte Summenformel (n/2)*(n+1), die wir hier etwas modifizieren müssen, weil wir nicht bei 1 anfangen, sondern bei 0.
Wir ersetzen daher n durch n-1 und erhalten [(n-1)/2]*n.
Du kannst die Doppelsumme also ersetzen durch eine einzelne Summe, bei der k von 1 bis n läuft, indem Du hinter das Summenzeichen die Formel k*[(k-1)/2] schreibst.
Für k=1 bekommst Du 0, für k=2 bekommst Du 1, für k=3 bekommst Du 3, für k=4 bekommst Du 6 usw., die nur noch summiert werden.
So kommst Du auf die Folge 0;1;4;10;20;35..., denn 0=0; 0+1=1; 0+1+3=4; 0+1+3+6=10 usw.
Die Frage bleibt, ob auch das verbleibende Summenzeichen ersetzt werden kann, ob man also ein beliebiges Glied der Folge berechnen kann, ohne sich jeweils von k=1 bis n durchhangeln muß.
Ich habe aufgrund der Vermutung, daß die Summenformel eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist, wie es auch bei der Summenformel der Quadratzahlen der Fall ist, ein Gleichungssystem aufgestellt, indem ich für x nacheinander 1;2;3 und 4 in die Gleichung y=ax³+bx²+cx+d und für y nacheinander 0;1;4 und 10 eingesetzt habe.
Als Lösung bekommst Du a=1/6, b=0, c=1/6 und d=0, so daß die Summenformel
(1/6)k³+(1/6)k lautet.
Nun kannst Du den Wert der Doppelsumme für jedes beliebige k ausrechnen.
Für k=10 etwa erhältst Du (1/6)*(1000-10)=165 als Lösung, die tatsächlich die Summe von 0+1+3+6+10+15+21+28+36+45 ist.
Die Summenformel läßt sich über die vollständige Induktion beweisen; was ich getan habe. Du kannst es ja auch mal versuchen.
Herzliche Grüße,
Willy
Man kann auch einfach elementar und vor allem formal sauber umformen. Wir haben:
Ziehen wir die innere Summe auseinander:
In der linken inneren Summe hängt der Summand nicht vom Summationsindex Nü ab, es wird also einfach k-Mal k summiert - genau das ergibt das k². In der rechten inneren Summe können wir den kleinen Gauß anwenden:
Hat es das klarer gemacht?
Mal gucken:
S(v=1,k) von (k-v)
= Summe(v=1,k) von (k) - Summe(v=1,k) von (v)
=k*k -summe der ersten k zahlen
=k*k -k*(k+1)/2
=k^2 - 0.5k^2 - 0.5k
=0.5k^2 - 0.5k
=0.5*(k^2-k)
weiter ist dann
Summe(k=1,n) von (Summe(v=1,k) von (k-v))
Summe(k=1,n) von (0.5k^2 - 0.5k)
=0.5* Summe(k=1,n) von (k^2) - 0.5*Summe(k=1,n) von (k)
=0.5*Summe der ersten n quadratzahlen
-0.5*Summe der ersten n Zahlen
=0.5*n(n+1)(2n+1)/6 - 0.5*n(n+1)/2
=0.5*n(n+1)*[(2n+1)/6 - 1/2]
=0.5*n(n+1)*[n/3+1/6-1/2]
=0.5*n(n+1)*[n/3-1/3]
=1/6*n(n+1)(n-1)
=1/6n(n^2-1)
das sollte das Ergebnis sein.
kannst es noch ausmultiplizieren aber Mehrwert bringt dir das nichts.
das was du ausgerechnet hast ist die innere summe.
die summe (v=1,k) von (k) ist einfach das kfache vom inneren teil, also k.
da wird k k-mal addiert. was eben gleich k*k ist.
Wie kommst du auf die k*k Summe der ersten k Zahlen? Kann das irgendwie noch nicht nachvollziehen.
Du meinst:
"= Summe(v=1,k) von (k) - Summe(v=1,k) von (v)
=k*k -summe der ersten k zahlen"
?
Da ist ein Minus, kein mal. sind 2 separate summen, die da subtrahiert werden voneinander. (da könnte auch ein plus tehen, die vorgehensweise ist Dieselbe)
du betrachtest die summen separat.
hinten die ist einfach die summe der ersten k zahlen.
und die Vordere addiert k mal die zahl k.
vielloeicht mal als einfacheres Beispiel:
summe(v=1, 5) von (k)
= k+k+k+k+k
halt 5 mal k addiert weil obere grenze minus untere grenze plus 1 eben 5-1+1=5 ergibt.
was natürlich dasselbe ist wie 5*k
oder
summe (v=3, 6) von (k)=k+k+k+k
also 3*k, weil eben oben-unten+1
=6-3+1=4
oder anders gesagt, für v=3 hast du ein k, für v=4 hast du ein k, für v=5 ein k und für v=6 ein k.
eben für jede mögliche zahl ein k. darum insgesamt eben 6-3+1=4 k's (die +1 kommt daher dass man beide grenzen mitzählt.)
und in deinem beispiel steht da halt oben k statt 5, daher auch k*1.
was bekanntlich k^2 ist :-)
das funktioniert einfach so weil das, was in der summe steht, nicht von der summenvariable (hier v) abhängt.
bei der summe hinten hingegen hängt der summeninhalt direkt von v ab, da kannst du nicht ainfach zig mal die selbe zahl addieren.
wenn du die 2. Summe "auflöst" steht doch da: (k-1)+(k-2)+...+(k-k). Wenn du das weiter umformst hast du (k+k+....+k)-(1+2+...k).
In der ersten Klammer hast du k*k also k^2. Verstehst du was ich meine? Wenn nicht kannst du gerne nachfragen.
Ich kann leider immer noch nicht wirklich nachvollziehen, wie man auf die K^2 kommt. Die innere Summe wurde auf die beiden Konstanten verteilt, dass könnte man ja ohne Probleme machen. meinst du das mit der 2.Summe auflösen.
mit "2. Summe auflösen" meinte ich, zunächst nur die innere Summe betrachten und versuchen diese umzuformen. Diese innere Summe habe ich wie oben beschrieben ausgeschrieben und die einzelnen Summanden sortiert. Und die Klammer (k+k....+k) ergibt genau dein k^2.
Das war der letzte Funken der noch gefehlt hat, danke:).