Wie berechnet man eine Vektor, wenn man den Betrag eines Vektors gegeben hat?
Den Betrag eines Vektor berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Wie geht aber die "Umkehrrechnung"?
Sprich, wenn man den Betrag gegeben hat (z.B. 4) und nun einen dazugehörigen Vektor bestimmen soll.
Danke im Voraus!
LG
8 Antworten
Hallo Itsjustadream,
wenn Du keine Richtung gegeben hast, sind es natürlich unendlich viele. Die Richtung als solche freilich ist im ℝⁿ durch n-1 Winkel gegeben, etwa im ℝ² durch einen Winkel φ.
Üblicherweise ist dies der Winkel, den der Vektor mit
1x› = (1|0) bzw. (1; 0)
(die '|' bzw. ';' stehen hier für Zeilenwechsel, das soll also von der Schreibweise her ein Spaltenvektor sein) bildet.
Um alle Vektoren r› mit Betrag r zu bezeichnen, kannst Du
r› = (r·cos(φ) | r·sin(φ))
schreiben, wobei φ∈ℝ ist. Da Sinus und Cosinus 2π-periodische Funktionen sind, sind allerdings Einschränkungen
φ∈[0, 2π[ oder
φ∈]–π, π]
üblich.
In ℝ³ benötigst Du einen weiteren Winkel θ, den Winkel zu
1z› = (0|0|1) bzw. (0; 0; 1),
wobei allerdings
θ∈[0, π]
definiert ist (θ=0 ist „Nordpol“, θ=π ist „Südpol“).
Hallo,
das geht überhaupt nicht.
Ein Vektor ist nicht nur durch seine Länge, sondern auch durch seine Richtung definiert. Aus dem Betrag allein kannst Du aber nicht ablesen, in welche Richtung der Vektor zeigt.
Du kannst ja auch nicht wissen, aus welcher Richtung ein Wind weht, der mit Stärke 6 angegeben wird oder wo Du einen Menschen finden sollst, von dem Du nur weißt, daß er 231,325 km von Dir entfernt ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja, einen Vektor kannst du schon bestimmen. Es gibt halt unendlich viele verschiedene Vektoren mit dieser Eigenschaft, nämlich alle deren Spitze auf dem Kreis mit ihrer Länge liegen. Du kannst dir nun einen davon aussuchen. Hat der Vektor die Länge 6 im R2 dann nimmst du einfach den Punkt (6/0) oder (0/6). Der Vektor vom Nullpunkt dorthin ist ein Vektor mit der Länge 6.
Überleg mal.
Bei der Länge 4 muss die Wurzel für den Betrag √16 sein.
Das geht sogar für den R³ recht einfach. Für den R² ist es gar kein Problem,
Du nimmst einfach für eine Komponente 4 und für die andere 0.
<u> = < 4 ; 0 >
Dann ist |u| = √(4² + 0²) = √16 = 4
Du kannst dich auch für andere Komponenten entscheiden, wirst aber dann im Regelfall Wurzeln herausbekommen.
Wie bereits gesagt, kann man aus dem Betrag keinen eindeutigen Vektor bestimmen.
Man könnte z.B. argumentieren, dass eine Gleichung (die für den Betrag) nicht ausreicht um die (mindestens) zwei Komponenten eines Vektors zu bestimmen.
Es ist analog zur Summe:
5 + 6 = r
r zu berechnen ist kein Problem aber angenommen wir hätten:
a + b = 11
Offensichtlich gibt es für a und b unzählige Möglichkeiten, wir können zwar eine Größe festlegen und die andere dann richtig wählen aber generell ist die Information, dass ursprünglich 5 und 6 gegeben waren verloren.
Nun nimm einfach
x = sqrt(5) und y = sqrt(6) (hier ist sqrt die Wurzel) und schon hast du die Formel für den Betrag:
x^2 + y^2 = r^2
Weiterhin gilt, dass bei gegebenem r x und y nicht eindeutig bestimmt werden können.
Natürlich kann man aber weiterhin x < r frei wählen, z.B. x=0 und dann nach y umstellen:
y = sqrt(r^2-x^2)
Ich hoffe das war noch etwas erleuchtend, neben den anderen Antworten.
Das geht nicht, weil es unendlich viele Lösungen gibt.
Wenn du aber zwei der drei Komponenten des Vektors schon hast, kannst du daraus die dritte ausrechnen indem du wieder den Satz des Pythagoras verwendest und die Gleichung dann umstellst.
Ja... das hatte ich mir gedacht, aber da wusste ich nicht so recht wie das geht...
Meine Aufgabe lautet: Bestimmen Sie jeweils einen Vektor im R^2, für die gilt: Betrag aus u = 6