Wie berechnet man die Richtungsableitung von einem Skalarfeld in Richtung eines Vektors?
z.B. Skalarfeld f(x,y,z) in Richtung des Vektors v=(x,y,z)
und wie würde man die Richtungsableitung an bestimmten Stellen z.B. (1,1,1) bestimmen?
2 Antworten
Die Richtungsableitung ist das Skalarprodukt des Gradienten von f mit dem Vektor v (je nach Definition normiert man den Vektor v vorher noch).
Das Ergebnis hängt dann noch von der Stelle (x,y,z) im Koordinatensystem ab. Um den Wert der Ableitung an dieser Stelle zu berechnen, setzt man die drei Koordinaten in die Ableitungsfunktion (also die Richtungsableitung) ein. Dadurch erhält man dann einen Zahlenwert, der angibt, welche Steigung der Graph an dieser Stelle entlang der Richtung v hat.
- Zuerst die drei partiellen Ableitungen in (1,1,1) bestimmen.
- Damit den Gradienten in (1,1,1) bestimmen (Nabla-Operator).
- Das Skalarprodukt von dem gefundenen Gradienten und deinem Richtungsvektor ist das von dir gesuchte Ergebnis.
Wenn mich nicht alles täuscht, gibt es da unterschiedliche Definitionen. Die bei Wikipedia zum Beispiel macht das Normieren von v nicht: https://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung#Eigenschaften So ist die Ableitungsfunktion dann auch eine homogene Funktion in v (skaliert also linear mit der Länge von v).
Nun Proton ...
...das hängt davon, welcher physikalische/mathematische Sachverhalt durch den gegebenen Richtungsvektor dargestellt werden soll.
Wenn es zum Beispiel die Richtung UND die Schubleistung des Manövriertriebwerkes eines Raumschiffes in einem Gravitationsfeld darstellt, dann spielt die Länge des Richtungsvektors eine Rolle.
Ist es jedoch der Vektor einer Zwangsführung (z.B einer Achterbahn), dann spielt die Länge keine Rolle sondern nur die Richtung.
Für den Mathematiker ist natürlich der Erhalt der Homogenität ein Wohlgefallen. ;-)
muss ich bei Schritt 3 durch den Betrag des Richtungsvektors dividieren? Also quasi mal dem Einheitsvektor des Richtungsvektors