Wie berechnet man die Kooardiantenform?
Kann mir jemand erklären, wie ich von der Parameterform zur Koordinatenform komme und in dem Schritt „n“ berechne
Schritt 1?
1 Antwort
In der Parameterform gibt es zwei Richtungsvektoren die mit dem Stützvektor die Ebene aufspannen. Man kann sich das ganze vorstellen, wie ein Papier (das die Ebene darstellt) und dieses Papier wird wie eine Ebene durch die 2 Stifte aufgespannt. Bei der Koordinatenform wird die Ebene anderst dargestellt: Hier "sticht" der Stift im 90 Grad Winkel durch das Papier. Ein bestimmter Punkt auf dem Papier gibt nun die genaue Position der Ebene im Koordinatensystem an.
Aber wie kommt man nun von den zwei Stiften, die das Papier aufspannen, auf den Stift, der das Papier durchsticht? Dafür bildet man das Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt genannt zwischen den beiden aufspannenden Spannvektoren der Parameterform. Resultierend erhält man den Stift der im 90 Grad durch das Papier sticht. Man nennt ihn Normalenvektor.
Wie wird er aber Konkret wie im Schritt eins gebildet?
Generell gilt für die beiden Spannvektoren der Parameterform, nennen wir sie mal a(a1/a2/a3) und b(b1/b2/b3), folgende Rechnung zur Errechnung des Kreuzproduktes:
Normalenvektor n: (a2*b3 - a3*b2/a3*b1 - a1*b3/ a1*b2 - a2*b1)
Generell gibt es dafür aber eine Merkhilfe:
Man schreibt zuerst einmal diese folgendermaßen nebeneinander:
a1 b1
a2 b2
a3 b3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
Nun streicht man die oberste und unterste Reihe durch. Man erhält:
a2 b2
a3 b3
a1 b1
a2 b2
Jetzt zeichnet man 3 Kreuze zwischen dazwischen. Das erste Kreuz würde von a2 zu b3 bzw. a3 zu b2. Das zweite von a3 zu b1 bzw. a1 zu b3 usw. Jeder erste Strich eines Kreuzes wird Multipliziert also beim ersten Kreuz a2*b3 und dann subtrahiert mit dem zweiten Produkt des zweiten Striches vom ersten Kreuz. Man erhält: a2*b3-a3*b2. Nachdem man das erste Kreuz durchgerechnet hat erhält man die erste Zeile des Normalenvektors. Das Ganze widerholt man bei den anderen 2 Kreuzen, bis man den ganzen Normalenvektor errechnet hat.
Um nun schlussendlich die Koordinatenform aufzustellen, setzt man den Normalenvektor in die Koordinatenform ein (in a, b und c).
Sie lautet: ax1+bx2+cx3=d
Schlussendlich muss man nur noch d errechnen, in dem man einen Punkt der auf der Ebene liegt für x1,x2 und x3 einsetzt. Dieser ist bei der Parameterform ganz simpel der Stützvektor. Schlussendlich kann man nun die ganze Koordinatenform hinschreiben. (x1,x2 und x3 bleiben als Variablen ;)
Alles ohne Garantie, gehe selber noch in die 12. xd.
Falls etwas unverständlich ist schau einfach auf YT nach, da gibt es tausende Videos zu dem Thema