Wie berechnet man die höhe einer Pyramide wenn man nur weiss dass der winkel zwischen zwei seitenflächen 120 grad ist und dass die grundfläche quadratisch ist?

Das Bild passt nicht ganz, aber egal. Die Strecke ab ist die halbe Diagonale des Quadrats. Kannst du auch per Pythagoras ausrechnen. Und der Winkel zwischen h und s oben an der Spitze ist die Hälfte von 120°.

a sei die Seitenlänge der Grundfläche,

h sei die Höhe der Pyramide.

Dann ist die Halbdiagonale hd der Grundfläche:

hd = a / √2

Die Länge der schrägen Kanten k der Pyramide ist (nach Pythagoras):

k = √(hd^2 + h^2)

Denken wir uns eine senkrechte Ebene durch eine der Diagonalen. Sie zerschneidet die Pyramide in zwei Tetraeder. Nehmen wir einen dieser Tetraeder. Zu ihm gehören zwei der Seitenflächen der Pyramide mit dem 120°-Winkel. Mit der senkrechten Ebene durch die andere Diagonale zerschneiden wir diesen Tetraeder wiederum in zwei Hälften. Dieser Schnitt teilt auch den 120°-Winkel in zwei Winkel von je 60°. In dieser Schnittebene haben wir ein rechtwinkliges Dreieck aus Kante, Höhe und Halbdiagonale. Fällen wir in diesem Dreieck vom Fußpunkt der Pyramide das Lot q auf die Kante. Nun können wir über den 60°-Winkel sagen, daß sein Tangens gleich hd/q ist.

Wir müssen jetzt nur noch q durch die schon definierten Strecken ausdrücken, dann können wir sagen wie groß h ist.

Dabei helfen uns die Ähnlichkeitssätze im rechtwickligen Dreieck (siehe Quellenangabe unten): Das Lot auf die Hypotenuse teilt es in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke, und alle drei sind einander ähnlich. Darum gilt die Proportionsgleichung

q : hd = h : k

Also ist

q = hd * h / k

Nun können wir sagen, daß

tan(60°) = hd / q = k / h = √(1 + (1/2)(a/h)^2)

Mit dem Zahlenwert tan(60°) = √(3) (aus der Tabelle, siehe Quellenangabe) erhalten wir daraus:

h = a/2

Die gesuchte Pyramide ist also halb so hoch wie breit.

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Quellen zu den Ähnlichkeitssätzen im rechtwickligen Dreieck:

• http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/euklid1.pdf
• Wikipedia: "Satzgruppe des Pythagoras", Abschnitt "Beweis der kompletten Satzgruppe über ähnliche Dreiecke"

Quellen zum Tangens:

• Wikipedia: "Tangens und Kotangens", Abschnitt "Wichtige Funktionswerte"

Wenn man eine Größe vermisst, kann man eine Formel ja so hinbauen, dass h vom a abhängig ist. Dann hat man eine "Pyramidenschar", bei der man die Grundseite oder -fläche eben jeweils vorgeben kann.

Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, das schräg innen in der Pyramide steht, schmale Spitze ist also auch also Spitze der Pyramide, Hypotenuse ist die schräge Seite, der rechte Winkel ist am MIttelpunkt der Bodenfläche. Dann mit Pythagoras ausrechnen

Du benötigst ein Maß zum berechnen der Höhe.