Wie berechne ich das Doppelintegral dieser Funktion?
Hallo!
Ich habe hier eine Funktion gegeben, welcher folgend aussieht:
Ich soll das Doppelintegral berechnen, aber das sin(x^2) stört offensichtlich!
Wie kann ich hier vorgehen? Mehr informationen als hier gezeigt gibt es leider nicht!
Danke und LG!
3 Antworten
(Nicht nur) der DerRoll hatte den richtigen Riecher,
Statt von 0 bis 1 dy und von y bis 1 dx integriere von 0 bis 1 dx und von 0 bis x dy, den Sinus kannst du dann aus dem inneren Integral rausziehen, welches x ergibt.
Das Integral von 0 bis 1 dx über x sin(x^2) ist dann trivial.
Zeichne das Quadrat [0,1]^2, schraffiere die Fläche, über die zu integrieren ist (ein Dreieck) und du wirst sofort sehen, wie du die Integrationsreihenfolge vertauschen kannst.
Und natürlich nciht vergessen zu prüfen ob die Voraussetzung des Satzes von Fubini überhaupt gegeben sind (was aber trivial der Fall ist).
Ich muß zugeben dass hier meine Erinnerung versagt, auch wenn ich weiß dass wir ähnliches damals im Studium auch gerechnet haben. Ich kann dir daher nur einen Tipp geben, aber keinen echt gesicherten Lösungshinweis.
Da g(x) = sin(x²) keine elementare Stammfunktion besitzt macht es Sinn sich Integrationsbereich und Integrationsreihenfolge mal anzuschauen. Versuche die Integrationsreihenfolge zu ändern, so dass zunächst über y und dann über x integriert wird. Das kann möglicherweise helfen.
Naja, das habe ich bereits versucht und es wird auch richtig sein, aber leider bin ich mit diesem Ansatz nicht weit gekommen. Das ist leider genau das, wo ich eben Probleme habe. Sowas haben wi auch in der Vorlesung gemacht, also wird die Richtung richtig sein.
Das Fresnel-Integral lässt sich nicht elementar integrieren - ich würde eine Reihendarstellung des Sinus versuchen und dann doppelt integrieren; vielleicht kann man den Grenzwert der Reihe erkennen. Ich schaue mir das heute Abend nochmal genauer an, weil mich das auch interessiert…😀
So, ich hab mir mal die Mühe gemacht, das nachzurechnen - ich hoffe, ich habe mich nicht VERrechnet…🤣
Ich hab mir Eure Kommentare zur Vertauschung der Integrationen angeschaut. Natürlich funktioniert meine Brute-Force-Methode, aber es ist sicherlich wesentlich eleganter, den Satz von Fubini anzuwenden…🤣
Ich würde mal vermuten, dass dieser Ansatz richtig ist. Ich brauche aber wahrscheinlich auch einen Zusammenhang zwischen den Intervallen von den Grenzen, welcher mir den beschriebenen Schritt erlaubt. Irgendwelche Ideen, wie man das gut vormulieren/mathematisch aufschreiben kann? Auf jeden Fall schon mal Danke!