Desmos sin(x)/x keine Asymptote?
Guten Abend,
während dem Aufzeichnen einiger Funktionen mit Desmos ist mir etwas ungewöhnliches aufgefallen:
sobald eine Funktion den Term sin(x)/x enthält, egal wie der Rest aussieht, gibt es keine Asymptote bei x = 0. Es gibt jedoch eine bei der Stelle -a wenn sin(x)/(x+a) berechnet wird. Sprich sin(x)/0. Woran liegt das?
2 Antworten
Die Funktion sin(x)/x hat keine Asymptoten, da die Funktion an der Stelle x=0 stetig fortsetzbar ist.
Das gilt für alle Funktionen sin(x)/(x–πn), wobei n eine ganze Zahl ist.
Woran liegt das?
Betrachtest du dir den Graphen der Funktion sin(x), so fällt dir auf, dass die Funktion an den Stellen x=πn Nullstellen hat.
An so einer Stelle erhält man also "0/0". Das kann jede mögliche Zahl sein - es ist einfach undefiniert. Deswegen kommt der Grenzwert zum Einsatz.
Dieser wird dir dann immer –1 oder 1 angeben - man spricht von einer stetigen Fortsetzung, denn so ist sin(x)/(x–πn) auf der ganzen Zahlengerade stetig.
Wenn a aber eben keine Stelle ist, wo sin(x) null wird, erhälst du einen Pol.
Die Funktion sin(x)/x trägt sogar einen eigenen Namen. Sie heißt Sinus Cardinalis (sinc) und ist für alle reelllen Zahlen außer Null definiert als sin(x)/x und für die Null als Eins definiert.
Oha, da ergab sich ja mehr als gedacht.
Danke für den Begriff "Sinus Cardinalis". Nach etwas Recherche ergab sich, dass die Funktion einen recht wichtigen Beitrag zur Riemann Hypothese liefert. Genau darum hab ich die Funktion geblottet (hab grundsätzlich durch Probieren die korrekte Funktion erhalten ;D).
Für x → 0 ist auch sin(x) → 0. Sowohl Zähler als auch Nenner gehen gegen 0. Wegen (x)' = (sin(x))' = 1 an der Stelle x = 0 geht der Bruch an der Stelle gegen 1 nach der Regel von l'Hospital.
Verstehe, dankeschön! Werd mich wohl darüber jetzt etwas einlesen :)