Wertebereich einer Funktion rechnerisch bestimmen?
Hallo, ich habe ein Problem mit der Funktion f(x) = sqrt(1-x).
Zuvor haben wir rechnerisch den Wertebereich der Funktion so bestimmt, dass wir allgemein die Funktion nach x auflösten und geschaut haben, welche Werte man in diesem Term einfügen durfte. z.B. f(x) = 1/x-1
---> x=1/y +1 also darf hier y nicht null sein und somit gehören zum Wertebereich alle reellen zählen außer eben 0. Während zum Definitionsbereich aller R außer 1 gehören.
Wenn ich aber f(x) = sqrt(1-x) nach x auflöse komme ich lediglich auf x=-y^2 +1 und das würde ja dann heißen, dass für y alle reellen zahlen rauskommen aber das stimmt so doch nicht?
Wie genau muss ich hier vorgehen oder habe ich etwas nicht beachtet?
Danke im voraus.
3 Antworten
f(x) = sqrt(1 - x)
x <= 1
y >= 0
Die Quadratwurzel ist so definiert, dass sie immer nur eine Lösung hat und zwar eine positive Lösung. Würde man die Funktion an der x-Achse spiegeln, hätte man g(x) = -sqrt(1 - x) mit dem Wertebereich y <= 0. Dieser ergäbe sich aber aus dem Vorzeichen vor der Wurzel und nicht aus der Wurzel selbst.
Also bei f(x) =✓1-x musst du folgendes beachten : Eine Wurzel kann niemals von einer negativen Zahl gezogen werden, von 0 allerdings schon. Somit ist f(x) undefiniert für alle x Werte , bei denen ein negativer Wert für 1-x rauskommt , also alle Werte >1. D=R\{x>1}
Wie genau muss ich hier vorgehen oder habe ich etwas nicht beachtet?
Du hast die Gleichung quadriert. Das ist keine Äquivalenzumformung. Es können Lösungen dazu kommen, die die Ausgangsgleichung nicht erfüllen.
Speziell geht es darum, dass nach dem Quadrieren die linke und rechte Seite der Gleichung übereinstimmen, obwohl sie im Original verschiedene Vorzeichen hatten. Diesen Fall musst Du im Vorfeld ausschließen, was hier aber sehr leicht geht:
Da eine Wurzel nie negativ ist, gilt zwingend y>=0.
Ab hier haben beide Seiten dasselbe Vorzeichen. Nur dann ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung, und Deine weitere Rechnung passt.
Aber wie beweist man y >=0?
Denn dass das gilt weiß ich ja