Welchen Neigungswinkel alpha muss ein Dach bei gegebener Basis b haben, damit Wasser in möglichst kurzer Zeit abläuft?
Wie lässt sich das berechnen?
3 Antworten
Mit Basis b>0, Höhe a>0, Dachlänge c>0, Neigungswinkel 𝛼>0, Ablaufzeit t>0 und Erdbeschleunigung g gilt, falls das Wasser am First keine Anfangsgeschwindigkeit hat:
c = ½(g·sin 𝛼)·t² ( aus s=½at² mit s=c und a=g·sin 𝛼 )
Falls der Regen mit einer Geschwindigkeit v≥0 aufs Dach fällt, kann man annehmen, dass das Wasser mit der Geschwindigkeit v·sin 𝛼 in Dachrichtung startet. Dann hat man:
c = ½(g·sin 𝛼)·t² + (v·sin 𝛼)·t
Normalerweise würde man jetzt c=b/cos 𝛼 ersetzen, nach t(𝛼) umformen und dann ableiten. Das wird aber ziemlich hässlich. So geht's leichter:
Nach Division durch sin 𝛼 = a/c und Ersetzen von c² = a²+b² bleibt:
a + b²/a = t·( ½gt + v )
Die rechte Seite ist für t>0 ein streng monoton steigender Parabelast. Also:
t minimal ⇔ rechte Seite minimal ⇔ linke Seite minimal.
Die Linke Seite nach a ableiten und Null setzen führt zu 1-b²/a²=0, also Tiefpunkt bei a=b, d.h. 𝛼=45° — ganz unabhängig von g und v!
Zuerst stellt sich mit da die Frage, was "in möglichst kurzer Zeit" bedeutet. Ich nehme mal an dass es um auftreffenden Regen, und nicht um auf den Gibel gegossenes Wasser geht. Dabei wird sich in jedem Fall ein stationäres Gleichgewicht einstellen, dass heißt es fließt gleich viel Wasser ab wie neues nachkommt - somit wäre die Abflussrate unabhängig vom Winkel.
Eine Zeit ließe sich berechnen, wenn jetzt der Regen schlagartig aufhört. Hier wird das System instationär und du könntest errechnen wann sich kein Wasser mehr auf dem Dach befindet. Hierzu ist die Länge der Schräge von Gibel bis Kante und die Fließgeschwindigkeit relevant.
Und jetzt wird die Aufgabe in jeden Fall kompliziert. Falls das Modell analytisch (und nicht numerisch) sein soll müssen hier auf jeden Fall einige Vereinfachungen getroffen werden. Du brauchst ein Modell für die Fließgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Neigung. Die wird unter anderem von der Beschaffenheit des Dachs und von der fließenden Wassermenge abhängen. Da ganz unten am Dach eine größere Wassermenge fließt als oben (an der Spitze beginnst du ja mit einer Wassermenge von null) wird sich die Fließgeschwindigkeit über die Strecke verändern.
So wie die Aufgabe gestellt ist, muss das Dach so steil wie nur irgendmöglich sein. Wenn es senkrecht steht, fließt das Wasser am schnellsten ab. Fehlen da noch weitere Randbedingungen?
Da hast du natürlich recht....
Aber irgendwie müsste man dann an die Fließgeschwindigkeit in Abhängikeit vom Winkel kommen.
Als Ansatz könnte man auf einen gleitenden Körper auf einer schiefen Ebene zurückgreifen.
Die Dachhöhe ergibt Epot und daraus lässt sich Ekin bzw. v am unteren Dachrand berechnen. Dann müsste man die mittlere Geschwindigkeit errechnen und auf die Dachlänge beziehen.
Über die beschleunigte Bewegung auf einer schiefen Ebene ließe sich die Zeit t ermitteln, bis der Regentropfen vom First zum Trauf gelangt ist.
In beiden Fällen müsste man zunächst mal reibungsfreie Bewegung annehmen. Über die Bewegungsgesetze (2. Weg) könnte man allerdings auch gleich noch einen Reibungsfaktor mit einpreisen. Den müsste man aber wohl annehmen, da über die Oberflächenbeschaffenheit nichts bekannt ist. Oder man schleppt mü einfach ohne Zahlennangabe durch die Rechnung durch.
Aber wenn das Dach so steil ist wie nur irgendmöglich, ergibt das eine längere Strecke und deswegen auch eine längere Zeitspanne.
Wassermenge, Beschaffenheit oder sonst was ist nicht bekannt. Die ganze Aufgabe steht da 1:1.